KHHEMATHKA 1.4." Paдиос-вeктоp точки изменяется сo временем по закону? r=2t2i+tj+k. Hайти скорость v и ускорение w точки

Чтобы определить скорость \( \mathbf{v} \) и ускорение \( \mathbf{w} \) точки, нам нужно проанализировать уравнение радиус-вектора, представленное в задаче:

\[ \mathbf{r}(t) = 2t^2 \mathbf{i} + t \mathbf{j} + \mathbf{k} \]

1. Нахождение скорости \( \mathbf{v} \)

Скорость точки — это первая производная радиус-вектора по времени:

\[ \mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \]

Выполним дифференцирование каждого компонента радиус-вектора:

\[ \mathbf{v}(t) = \frac{d}{dt}(2t^2) \mathbf{i} + \frac{d}{dt}(t) \mathbf{j} + \frac{d}{dt}(1) \mathbf{k} \]

Расчитаем производные:

1. Для \( 2t^2 \): \[ \frac{d}{dt}(2t^2) = 4t \]

2. Для \( t \): \[ \frac{d}{dt}(t) = 1 \]

3. Для константы (которую можно выразить как \(1\)): \[ \frac{d}{dt}(1) = 0 \]

Таким образом, скорость будет равна:

\[ \mathbf{v}(t) = 4t \mathbf{i} + 1 \mathbf{j} + 0 \mathbf{k} = 4t \mathbf{i} + \mathbf{j} \]

2. Нахождение ускорения \( \mathbf{w} \)

Ускорение точки — это вторая производная радиус-вектора по времени:

\[ \mathbf{w}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} \]

Выполним дифференцирование каждого компонента скорости:

\[ \mathbf{w}(t) = \frac{d}{dt}(4t) \mathbf{i} + \frac{d}{dt}(1) \mathbf{j} + \frac{d}{dt}(0) \mathbf{k} \]

Расчитаем производные:

1. Для \( 4t \): \[ \frac{d}{dt}(4t) = 4 \]

2. Для \( 1 \): \[ \frac{d}{dt}(1) = 0 \]

3. Для \( 0 \): \[ \frac{d}{dt}(0) = 0 \]

Таким образом, ускорение будет равно:

\[ \mathbf{w}(t) = 4 \mathbf{i} + 0 \mathbf{j} + 0 \mathbf{k} = 4 \mathbf{i} \]

Ответ:

Скорость \( \mathbf{v}(t) = 4t \mathbf{i} + \mathbf{j} \), а ускорение \( \mathbf{w}(t) = 4 \mathbf{i} \).