Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часа после отплытия из него.

Question 1

Задача Задача №1864456

А

Аноним

15 октября 2024 12:59 · публичный вопрос

А

Аноним 15 октября 2024 12:59

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часа после отплытия из него.

Answer

Для решения этой задачи давайте обозначим следующие переменные:

Скорость теплохода в неподвижной воде — \( v \) (км/ч),
Скорость течения реки — \( c = 5 \) км/ч,
Расстояние до пункта назначения — \( L = 216 \) км,
Время, через которое теплоход вернулся в пункт отправления — \( T = 23 \) часа,
Время стоянки — \( t_{ст} = 5 \) часов.

Когда теплоход движется по течению реки, его скорость равна \( v + c \). При движении против течения его скорость равна \( v - c \).

Сначала найдем время, необходимое для того, чтобы проплыть расстояние в 216 км по течению: \[ t_{вперед} = \frac{L}{v + c} = \frac{216}{v + 5} \]
Затем найдем время, необходимое для возвращения обратно: \[ t_{назад} = \frac{L}{v - c} = \frac{216}{v - 5} \]
Составим уравнение, учитывая, что общее время путешествия включает в себя время в пути туда и обратно, а также время стоянки: \[ t_{вперед} + t_{назад} + t_{ст} = T \] Подставим значения: \[ \frac{216}{v + 5} + \frac{216}{v - 5} + 5 = 23 \]
Упрощаем уравнение: \[ \frac{216}{v + 5} + \frac{216}{v - 5} = 18 \] Умножим обе части на \((v + 5)(v - 5)\) (это не равно нулю для положительных \( v \)): \[ 216(v - 5) + 216(v + 5) = 18(v^2 - 25) \]
Упростим: \[ 216v - 1080 + 216v + 1080 = 18v^2 - 450 \] Это приводит к: \[ 432v = 18v^2 - 450 \] Таким образом, имеем квадратное уравнение: \[ 18v^2 - 432v - 450 = 0 \] Делим на 6: \[ 3v^2 - 72v - 75 = 0 \]
Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{72 \pm \sqrt{(-72)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-75)}}{2 \cdot 3} \] \[ = \frac{72 \pm \sqrt{5184 + 900}}{6} = \frac{72 \pm \sqrt{6084}}{6} = \frac{72 \pm 78}{6} \]
Найдем два значения: \[ v_1 = \frac{150}{6} = 25 \text{ км/ч} \quad (положительное значение) \] \[ v_2 = \frac{-6}{6} = -1 \text{ км/ч} \quad (неприемлемое значение) \]

Итак, скорость теплохода в неподвижной воде составляет 25 км/ч.

Question 2

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 23 часа после отплытия из него.

Answer

Для решения этой задачи давайте обозначим следующие переменные: - Скорость теплохода в неподвижной воде — \( v \) (км/ч), - Скорость течения реки — \( c = 5 \) км/ч, - Расстояние до пункта назначения — \( L = 216 \) км, - Время, через которое теплоход вернулся в пункт отправления — \( T = 23 \) часа, - Время стоянки — \( t_{ст} = 5 \) часов. Когда теплоход движется по течению реки, его скорость равна \( v + c \). При движении против течения его скорость равна \( v - c \). 1. Сначала найдем время, необходимое для того, чтобы проплыть расстояние в 216 км по течению: \[ t_{вперед} = \frac{L}{v + c} = \frac{216}{v + 5} \] 2. Затем найдем время, необходимое для возвращения обратно: \[ t_{назад} = \frac{L}{v - c} = \frac{216}{v - 5} \] 3. Составим уравнение, учитывая, что общее время путешествия включает в себя время в пути туда и обратно, а также время стоянки: \[ t_{вперед} + t_{назад} + t_{ст} = T \] Подставим значения: \[ \frac{216}{v + 5} + \frac{216}{v - 5} + 5 = 23 \] 4. Упрощаем уравнение: \[ \frac{216}{v + 5} + \frac{216}{v - 5} = 18 \] Умножим обе части на \((v + 5)(v - 5)\) (это не равно нулю для положительных \( v \)): \[ 216(v - 5) + 216(v + 5) = 18(v^2 - 25) \] 5. Упростим: \[ 216v - 1080 + 216v + 1080 = 18v^2 - 450 \] Это приводит к: \[ 432v = 18v^2 - 450 \] Таким образом, имеем квадратное уравнение: \[ 18v^2 - 432v - 450 = 0 \] Делим на 6: \[ 3v^2 - 72v - 75 = 0 \] 6. Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{72 \pm \sqrt{(-72)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-75)}}{2 \cdot 3} \] \[ = \frac{72 \pm \sqrt{5184 + 900}}{6} = \frac{72 \pm \sqrt{6084}}{6} = \frac{72 \pm 78}{6} \] 7. Найдем два значения: \[ v_1 = \frac{150}{6} = 25 \text{ км/ч} \quad (положительное значение) \] \[ v_2 = \frac{-6}{6} = -1 \text{ км/ч} \quad (неприемлемое значение) \] Итак, скорость теплохода в неподвижной воде составляет **25 км/ч**.