Дан треугольник ABC. AC=14,4см, угол B=45 градусов; угол С=60 градусов. Найди сторону АВ. ( Ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня)

Чтобы найти сторону \( AB \) в треугольнике \( ABC \) с известными длинами и углами, можно воспользоваться теоремой синусов.

В треугольнике \( ABC \):

• \( AC = 14.4 \, \text{см} \)
• угол \( B = 45^\circ \)
• угол \( C = 60^\circ \)

Сначала найдем угол \( A \). Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \):

\[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \]

Теперь мы можем использовать теорему синусов:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{14.4}{\sin 45^\circ} \]

Значения синусов:

\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14.4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]

Упрощаем уравнение:

\[ AB \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 14.4 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \]

\[ AB \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 14.4 \cdot \sqrt{2} \]

Теперь выразим \( AB \):

\[ AB = \frac{14.4 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} \]

Упрощаем:

\[ AB = \frac{14.4 \cdot \sqrt{6}}{2} = 7.2 \cdot \sqrt{6} \]

Это значение можно записать в наименьшем натуральном числе под знаком корня. Таким образом, окончательный ответ:

\[ AB = 7.2 \sqrt{6} \approx 17.6 \, \text{см} \]

Упрощая и округляя, мы можем оставить ответ в форме \( AB = 7 \sqrt{6} \) (где 7 - это наименьшее целое число, а 6 остается под знаком корня).