Анна и Бори загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках которые отдали Володе оказалось что на их листочках равно одно общее число а также Володя заметил что если сложить два любых разных числа листочка Анны то получится одно из чисел Борисов затем Володя попросил каждого из ребят выбрать одну из трёх написанных имя чисел и назвать его она назвала число которое в три раза меньше чем одно из чисел Бориса а Борис назвал число 10 которое числа назвала Анна

Давайте обозначим числа, которые загадала Анна, как \( A_1, A_2, A_3 \), а числа, которые загадал Борис, как \( B_1, B_2, B_3 \).

Согласно условию задачи, одно общее число \( C \), у них одинаковое. Также сказано, что сумма любых двух различных чисел Анны равна одному из чисел Бориса, то есть:

\[ A_i + A_j = B_k \]

где \( 1 \leq i < j \leq 3 \) и \( k = 1, 2, 3 \).

Кроме того, Анна выбрала число, которое в три раза меньше, чем одно из чисел Бориса, а Борис выбрал число 10.

Поскольку Борис назвал число 10, мы можем предположить, что \( B_k = 10 \) для некоторого \( k \). Анализируя условия задачи, давайте рассмотрим возможные варианты для чисел, предложенные Анной.

Пусть \( A_1 < A_2 < A_3 \). Если \( A_1 + A_2 = 10 \), то это может быть одной из возможностей. Давайте найдем, какие числа могут быть \( A_1 \) и \( A_2 \):

1. Если \( A_1 = 1 \) и \( A_2 = 9 \), тогда возможно, что \( A_3 = C \) (общее число).
2. Если \( A_1 = 2 \) и \( A_2 = 8 \), тогда также возможно что \( A_3 = C \).
3. Если \( A_1 = 3 \) и \( A_2 = 7 \), тогда опять \( A_3 = C \).
4. Если \( A_1 = 4 \) и \( A_2 = 6 \), тогда \( A_3 = C \).

Теперь рассмотреть третье число Анны. Оно должно быть равно \( C \) и при этом превышать \( A_2 \). Также оно должно быть в три раза меньше одного из чисел Бориса. Если допустим \( B_1 \) или \( B_2 \) или \( B_3 \) будут в виде \( 3A \), то нужно, чтобы оно было равно 10.

Допустим, тогда:

• \( C = 10/3 \), тогда оно не подходит, так как не является целым числом.
• Проверяя другие возможные числа, нужно помнить, что они все положительные и целые.

После подбора можно заметить, что если \( B_1 \) равно 10, то другие числа \( B_2, B_3 \) должны входить в сумму двух чисел Анны.

Итак, число \( C \) должно быть меньше 10 и подходить под условия. Например, \( C = 5 \):

Таким образом, числа Анд и Бориса могут принимать вид:

• Пусть \( A_1 = 2 \), \( A_2 = 3 \), \( A_3 = 5 \) (общее число).
• Тогда \( B_1 = 5\), \( B_2 = 7 \) (так как \( 2 + 5 = 7 \)), и \( B_3 = 10 \) (так как \( 3 + 7 = 10 \)).

Теперь видно, что каждый обозначенный набор чисел удовлетворяет требованиям задачи. Таким образом, все условия задачи соблюдены.