. В равнобедренной трапеции высота образует с боковой стороной угол 30°, а ее основания равны 11 см и 5 см. Чему равен периметр трапеции
Для решения этой задачи начнем с того, что у нас есть равнобедренная трапеция, в которой высота образует угол 30° с боковой стороной. Обозначим основания трапеции как \(a = 11\) см и \(b = 5\) см.
- Найдем высоту трапеции.
Поскольку высота образует угол 30° с боковой стороной, мы можем воспользоваться тригонометрией. Обозначим высоту как \(h\). С учетом угла, мы имеем: \[ h = c \cdot \sin(30°) = c \cdot \frac{1}{2} = \frac{c}{2}, \] где \(c\) - длина боковой стороны.
Также можем выразить длину боковой стороны через высоту: \[ c = h \cdot 2. \]
- Найдем основание, перпендикулярное высоте.
Для удобства введем обозначения: \[ \frac{a - b}{2} = \frac{11 - 5}{2} = 3 \, \text{см}. \] Эта величина - это длина отрезка, который является проекцией боковой стороны на основание трапеции, и он равен половине разности оснований.
- Используем теорему Пифагора в треугольнике.
В равнобедренной трапеции, по свойству высоты, у нас образуется прямоугольный треугольник, в котором:
- одно катет равен высоте \(h\),
- второй катет равен 3 см,
- гипотенуза равна боковой стороне \(c\).
По теореме Пифагора можем записать: \[ c^2 = h^2 + 3^2. \]
- Подставляем высоту в уравнение.
Зная, что \(h = \frac{c}{2}\), получаем: \[ c^2 = \left(\frac{c}{2}\right)^2 + 3^2, \] или \[ c^2 = \frac{c^2}{4} + 9. \]
- Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей.
\[ 4c^2 = c^2 + 36, \] что приводит к \[ 3c^2 = 36. \]
- Решим уравнение для \(c\).
\[ c^2 = 12 \quad \Rightarrow \quad c = 2\sqrt{3} \, \text{см}. \]
- Найдем периметр трапеции.
Периметр \(P\) равнобедренной трапеции вычисляется по формуле: \[ P = a + b + 2c. \] Подставим известные значения: \[ P = 11 + 5 + 2(2\sqrt{3}) = 16 + 4\sqrt{3} \, \text{см}. \]
Таким образом, периметр равнобедренной трапеции равен \(16 + 4\sqrt{3}\) см.
