На балу присутствует не более 20 человек, они танцуют. В парах 1 мужчина и 1 Женщина. В Настоящий момент танцует 2 5-х всех. Мужчин и четыре седьмых всех женщинНа балу присутствует не более 20 человек, они танцуют. В парах 1 мужчина и 1 Женщина. В Настоящий момент танцуют 2 пятых всех мужчин и четыре седьмых всех женщин, сколько людей присутствует на балу

Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.

Обозначим количество мужчин в зале как \( M \), а количество женщин как \( W \). Из условия задачи нам известно следующее:

1. Общее количество людей на балу не превышает 20: \[ M + W \leq 20 \]

2. В танце участвуют \( \frac{2}{5} \) всех мужчин: \[ \text{Танцующие мужчины} = \frac{2}{5}M \]

3. В танце также участвуют \( \frac{4}{7} \) всех женщин: \[ \text{Танцующие женщины} = \frac{4}{7}W \]

Так как танцующие пары состоят из одного мужчины и одной женщины, количество танцующих мужчин должно равняться количеству танцующих женщин: \[ \frac{2}{5}M = \frac{4}{7}W \]

Теперь можно решить это уравнение. Умножим обе стороны на 35 (наименьшее общее кратное 5 и 7), чтобы избавиться от дробей: \[ 35 \cdot \frac{2}{5}M = 35 \cdot \frac{4}{7}W \] \[ 14M = 20W \]

Теперь выразим \( M \) через \( W \): \[ M = \frac{20}{14}W = \frac{10}{7}W \]

Подставим это значение в первое неравенство: \[ \frac{10}{7}W + W \leq 20 \]

Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{10}{7}W + \frac{7}{7}W = \frac{17}{7}W \leq 20 \]

Умножим обе стороны на 7, чтобы избавиться от дроби: \[ 17W \leq 140 \]

Таким образом, получаем: \[ W \leq \frac{140}{17} \approx 8.24 \]

Поскольку количество женщин должно быть целым числом, то максимальное значение \( W \) может составлять 8. Подставим \( W = 8 \) обратно в выражение для \( M \): \[ M = \frac{10}{7} \cdot 8 = \frac{80}{7} \approx 11.43 \]

Поскольку \( M \) тоже должно быть целым числом, давайте попробовать \( W = 7 \): \[ M = \frac{10}{7} \cdot 7 = 10 \]

Теперь проверим, подходит ли это значение: \[ M + W = 10 + 7 = 17 \]

Это удовлетворяет условию \( M + W \leq 20 \). Подсчитаем количество танцующих:

• Танцующие мужчины: \( \frac{2}{5} \cdot 10 = 4 \)
• Танцующие женщины: \( \frac{4}{7} \cdot 7 = 4 \)

Так как танцующих мужчин и женщин равное количество, все условия задачи выполнены.

Следовательно, на балу присутствует 17 человек.