Дети путешественника во время меня нашли в рабочем кабинете отца старинный предмет с 35 кнопочками каждая из которых загорается при нажатии а при повторном нажатии гаснет изначально не Однако из кнопок не горело Савелий нажала на 27 различных кнопочек Камиля на 26 коробочек А Костя до 30 кнопочек в результате все кнопки загорелись сколько кнопок была нажата трижды

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть 35 кнопок. При каждом нажатии кнопка загорается, а при повторном нажатии гаснет. Если никто не нажимал на кнопку, она изначально не горит.

Савелий нажал на 27 различных кнопочек, Камиля на 26, а Костя на 30. В результате все кнопки загорелись. Мы должны выяснить, сколько кнопок было нажато трижды.

Обозначим количество кнопок, которые были нажаты трижды, как \( x \).

Давайте взглянем на общее количество нажатий:

1. Савелий: 27 кнопок → \( 27 \) нажатий.
2. Камиля: 26 кнопок → \( 26 \) нажатий.
3. Костя: 30 кнопок → \( 30 \) нажатий.

Общее количество нажатий:

\[ 27 + 26 + 30 = 83 \]

Теперь представим, что \( y \) — количество кнопок, которые были нажаты дважды. Таким образом, мы можем выразить общее количество нажатий через количество кнопок, нажатых один раз, дважды и трижды:

Количество кнопок, которые были нажаты один раз: \( 35 - x - y \).

Запишем уравнение для общего числа нажатий:

\[ 83 = (35 - x - y) + 2y + 3x \]

Упростим:

\[ 83 = 35 - x - y + 2y + 3x \] \[ 83 = 35 + 2x + y \] \[ 83 - 35 = 2x + y \] \[ 48 = 2x + y \quad (1) \]

Теперь нам нужно понять, сколько всего различных кнопок нажималось:

Если \( y \) — количество кнопок, которые нажимались дважды, то:

\[ y \leq 35 - x \quad (2) \]

Итак, у нас есть система уравнений:

1. \( 48 = 2x + y \)
2. \( y \leq 35 - x \)

Теперь, чтобы найти количество кнопок, которые были нажаты трижды (то есть \( x \)), подставим разные значения \( x \) и найдем соответствующее \( y \):

• Если \( x = 0 \): \[ 48 = 2 \times 0 + y \Rightarrow y = 48 \quad (не подходит, так как y \leq 35) \]

• Если \( x = 1 \): \[ 48 = 2 \times 1 + y \Rightarrow y = 46 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 2 \): \[ 48 = 2 \times 2 + y \Rightarrow y = 44 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 3 \): \[ 48 = 2 \times 3 + y \Rightarrow y = 42 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 4 \): \[ 48 = 2 \times 4 + y \Rightarrow y = 40 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 5 \): \[ 48 = 2 \times 5 + y \Rightarrow y = 38 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 6 \): \[ 48 = 2 \times 6 + y \Rightarrow y = 36 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 7 \): \[ 48 = 2 \times 7 + y \Rightarrow y = 34 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 8 \): \[ 48 = 2 \times 8 + y \Rightarrow y = 32 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 9 \): \[ 48 = 2 \times 9 + y \Rightarrow y = 30 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 10 \): \[ 48 = 2 \times 10 + y \Rightarrow y = 28 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 11 \): \[ 48 = 2 \times 11 + y \Rightarrow y = 26 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 12 \): \[ 48 = 2 \times 12 + y \Rightarrow y = 24 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 13 \): \[ 48 = 2 \times 13 + y \Rightarrow y = 22 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 14 \): \[ 48 = 2 \times 14 + y \Rightarrow y = 20 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 15 \): \[ 48 = 2 \times 15 + y \Rightarrow y = 18 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 16 \): \[ 48 = 2 \times 16 + y \Rightarrow y = 16 \quad (не подходит) \]

• Если \( x = 17 \): \[ 48 = 2 \times 17 + y \Rightarrow y = 14 \quad (подходит, пока не 17) \]

• Если \( x = 18 \): \[ 48 = 2 \times 18 + y \Rightarrow y = 12 \]

Таким образом, \( x \) может быть в пределах от 17 до 18.

Следовательно, количество кнопок, которые было нажато трижды, составляет примерно 17–18.

\[ Ответ: 17 или 18 кнопок были нажаты трижды. \]