На балу присутствуют не более 20 человек. они танцуют в парах. в настоящий момент танцуют 2/5 всех мужчин и 4/7 всех женщин. сколько людей присутствует на балу

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Пусть количество мужчин обозначим как \( M \), а количество женщин как \( W \). Из условия имеем:

1. Всего присутствует не более 20 человек: \( M + W \leq 20 \).
2. В танцах участвуют \( \frac{2}{5} \) мужчин, значит, количество танцующих мужчин: \( \frac{2}{5} M \).
3. В танцах участвуют \( \frac{4}{7} \) женщин, значит, количество танцующих женщин: \( \frac{4}{7} W \).

Поскольку танцующие пары состоят из одного мужчины и одной женщины, то количество танцующих мужчин должно равняться количеству танцующих женщин:

\[ \frac{2}{5} M = \frac{4}{7} W. \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на \( 5 \cdot 7 = 35 \) для удаления дробей:

\[ 7 \cdot 2M = 5 \cdot 4W, \] \[ 14M = 20W. \]

Теперь можем выразить \( M \) через \( W \):

\[ M = \frac{20}{14} W = \frac{10}{7} W. \]

Теперь подставим это выражение в первое неравенство \( M + W \leq 20 \):

\[ \frac{10}{7} W + W \leq 20. \]

Объединим дроби:

\[ \frac{10}{7} W + \frac{7}{7} W = \frac{17}{7} W. \]

Теперь умножим обе стороны на 7, чтобы избавиться от дроби:

\[ 17W \leq 140. \]

Делим на 17:

\[ W \leq \frac{140}{17} \approx 8.24. \]

Так как \( W \) – это целое число, то \( W \leq 8 \).

Теперь найдем максимальное количество мужчин, используя \( W = 8 \):

\[ M = \frac{10}{7} \cdot 8 = \frac{80}{7} \approx 11.43. \]

Это число также должно быть целым, поэтому максимальное количество мужчин, которое возможно, равно 11.

Теперь проверим, можем ли мы взять \( M = 11 \) и \( W = 8 \) и подставить в общее выражение:

\[ M + W = 11 + 8 = 19. \]

Это меньше 20, значит, такое распределение допустимо.

Итак, количество людей, присутствующих на балу, составляет 19 человек!