Площадь прямоугольника равна 972 см?, а длина его диагонали равна 45 см. Найдите длины сторон прямоугольника.
Обозначим длины сторон прямоугольника как \( a \) и \( b \). Исходя из условия, у нас есть две формулы:
- Площадь прямоугольника: \( S = a \cdot b = 972 \) см².
- Длина диагонали: \( d = \sqrt{a^2 + b^2} = 45 \) см.
Из второй формулы можем выразить \( a^2 + b^2 \):
\[ a^2 + b^2 = d^2 = 45^2 = 2025. \]
Теперь у нас есть система уравнений:
\[ \begin{cases} a \cdot b = 972 \\ a^2 + b^2 = 2025 \end{cases} \]
Первое уравнение можно выразить в терминах \( b \):
\[ b = \frac{972}{a}. \]
Подставим это выражение во второе уравнение:
\[ a^2 + \left(\frac{972}{a}\right)^2 = 2025. \]
Теперь упростим это уравнение:
\[ a^2 + \frac{972^2}{a^2} = 2025. \]
Умножим обе стороны на \( a^2 \) (при условии, что \( a \neq 0 \)):
\[ a^4 - 2025a^2 + 972^2 = 0. \]
Теперь подставим \( 972^2 = 944784 \):
\[ a^4 - 2025a^2 + 944784 = 0. \]
Обозначим \( x = a^2 \). Уравнение примет вид:
\[ x^2 - 2025x + 944784 = 0. \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 2025^2 - 4 \cdot 1 \cdot 944784. \]
Вычислим дискриминант:
\[ 2025^2 = 4100625, \] \[ 4 \cdot 944784 = 3779136, \] \[ D = 4100625 - 3779136 = 320489. \]
Теперь найдём корни уравнения:
\[ x = \frac{2025 \pm \sqrt{320489}}{2}. \]
Вычислим \( \sqrt{320489} \approx 566.26 \):
\[ x_1 = \frac{2025 + 566.26}{2} \approx 1295.63, \] \[ x_2 = \frac{2025 - 566.26}{2} \approx 729.37. \]
Теперь вернёмся к \( a \):
- \( a^2 \approx 1295.63 \Rightarrow a \approx 36.0 \) (округлённо).
- \( a^2 \approx 729.37 \Rightarrow a \approx 27.0 \) (округлённо).
Теперь вычислим соответствующие \( b \):
- Если \( a \approx 36.0 \), то \( b = \frac{972}{36.0} \approx 27.0 \).
- Если \( a \approx 27.0 \), то \( b = \frac{972}{27.0} \approx 36.0 \).
Таким образом, длины сторон прямоугольника составляют:
\[ a \approx 36 \text{ см и } b \approx 27 \text{ см.} \]
Итак, длины сторон прямоугольника равны 36 см и 27 см.
