Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 2 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и увеличив ширину на 5. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани равны. Найдите все возможные значения периметра прямоугольника Даши

Для решения задачи давайте обозначим длину и ширину прямоугольника Даши через \( l \) и \( w \) соответственно.

Тогда площади прямоугольников Кати и Тани можно выразить следующим образом:

1. Площадь прямоугольника Кати: \[ S_К = (l - 2)(w + 3) \]

2. Площадь прямоугольника Тани: \[ S_Т = (l - 3)(w + 5) \]

Согласно условию, эти площади равны, то есть: \[ (l - 2)(w + 3) = (l - 3)(w + 5). \]

Теперь раскроем скобки в обоих выражениях:

1. Для Кати: \[ S_К = lw + 3l - 2w - 6. \]

2. Для Тани: \[ S_Т = lw + 5l - 3w - 15. \]

Теперь уравнение можно записать как: \[ lw + 3l - 2w - 6 = lw + 5l - 3w - 15. \]

Отменим одинаковые слагаемые \( lw \) с обеих сторон: \[ 3l - 2w - 6 = 5l - 3w - 15. \]

Переносим все слагаемые на одну сторону: \[ 3l - 5l + 3w - 2w = -15 + 6, \] что сокращается до: \[ -2l + w = -9. \]

Это можно записать как: \[ w = 2l - 9. \]

Теперь найдем возможные значения \( l \) и \( w \), учитывая, что они должны быть целыми положительными числами. Поскольку ширина \( w \) должна быть положительной, у нас должно выполняться: \[ 2l - 9 > 0 \Rightarrow 2l > 9 \Rightarrow l > 4.5. \] Так как \( l \) должно быть целым положительным числом, то минимальное значение \( l \) равно 5.

Теперь подставляем различные целые значения \( l \):

1. Если \( l = 5 \), тогда: \[ w = 2 \cdot 5 - 9 = 10 - 9 = 1. \] Площадь = \( 5 \cdot 1 = 5 \) (все площади положительные, этот вариант допустим).

2. Если \( l = 6 \), тогда: \[ w = 2 \cdot 6 - 9 = 12 - 9 = 3. \]

3. Если \( l = 7 \), тогда: \[ w = 2 \cdot 7 - 9 = 14 - 9 = 5. \]

4. Если \( l = 8 \), тогда: \[ w = 2 \cdot 8 - 9 = 16 - 9 = 7. \]

5. Если \( l = 9 \), тогда: \[ w = 2 \cdot 9 - 9 = 18 - 9 = 9. \]

На этом значения \( l \) могут идти далее до тех пор, пока ширина \( w \) остаётся положительной.

Теперь найдем периметр прямоугольника Даши, который равен: \[ P = 2(l + w) = 2(l + (2l - 9)) = 2(3l - 9) = 6l - 18. \]

Таким образом, возможные значения периметра:

1. Для \( l = 5 \): \( P = 6 \cdot 5 - 18 = 30 - 18 = 12 \).
2. Для \( l = 6 \): \( P = 6 \cdot 6 - 18 = 36 - 18 = 18 \).
3. Для \( l = 7 \): \( P = 6 \cdot 7 - 18 = 42 - 18 = 24 \).
4. Для \( l = 8 \): \( P = 6 \cdot 8 - 18 = 48 - 18 = 30 \).
5. Для \( l = 9 \): \( P = 6 \cdot 9 - 18 = 54 - 18 = 36 \).

Таким образом, возможные значения периметра прямоугольника Даши: 12, 18, 24, 30, 36.