Периметр параллелограмма АВСD равен 40 см, АВ:АD=4:6, угол А острый, sin А= 3/4, ВН высота параллелограмма, проведена к стороне АD. Найдите площадь трапеции НВСD
Чтобы найти площадь трапеции НВСD, сначала нам нужно определить длины сторон параллелограмма ABCD и высоту BH.
Определение сторон параллелограмма: Из условия известно, что \(AB:AD = 4:6\). Это означает, что длины сторон можно выразить как \(AB = 4x\) и \(AD = 6x\) для некоторого \(x\).
Периметр параллелограмма определяется как: \[ P = 2(AB + AD) = 2(4x + 6x) = 20x \] Нам дано, что \(P = 40\) см, значит: \[ 20x = 40 \implies x = 2 \]
Теперь подставим \(x\) в выражения для длин сторон: \[ AB = 4x = 8 \text{ см}, \quad AD = 6x = 12 \text{ см} \]
Нахождение высоты OH параллелограмма: Параллелограмм можно разделить на два прямоугольных треугольника, где угол A острый, и мы знаем, что \(\sin A = \frac{3}{4}\). Мы можем использовать это значение, чтобы найти высоту \(BH\): \[ BH = AD \cdot \sin A = 12 \cdot \frac{3}{4} = 9 \text{ см} \]
Нахождение площади параллелограмма: Площадь параллелограмма ABCD можно найти по формуле: \[ S = AB \cdot BH = 8 \cdot 9 = 72 \text{ см}^2 \]
Нахождение площади трапеции НВСD: Трапеция НВСD имеет основания AD и BC. Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, то \(BC = AD = 12 \text{ см}\).
Площадь трапеции можно найти по формуле: \[ S_{трапеции} = \frac{(AD + BC) \cdot h}{2} \]
Так как \(AD = 12\) см, а \(BC = 12\) см, и высота \(BH = 9\) см, подставляя значения, получаем: \[ S_{трапеции} = \frac{(12 + 12) \cdot 9}{2} = \frac{24 \cdot 9}{2} = 108 \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь трапеции НВСD составляет 108 см².
