Найдите точки пересечения прямых и окружности если х^2+у^2=25, 2х+3у-18=0
Чтобы найти точки пересечения прямой и окружности, сначала запишем уравнения этих фигур.
Уравнение окружности:
\( x^2 + y^2 = 25 \)
Уравнение прямой:
\( 2x + 3y - 18 = 0 \)
Мы можем выразить \( y \) через \( x \):
\[ 3y = 18 - 2x \]
\[ y = \frac{18 - 2x}{3} \]
Теперь подставим выражение для \( y \) из уравнения прямой в уравнение окружности:
\[ x^2 + \left(\frac{18 - 2x}{3}\right)^2 = 25 \]
Приведем второе слагаемое к общему знаменателю: \[ x^2 + \frac{(18 - 2x)^2}{9} = 25 \]
Умножим всё уравнение на 9, чтобы избавиться от дроби: \[ 9x^2 + (18 - 2x)^2 = 225 \]
Раскроем скобки: \[ 9x^2 + (324 - 72x + 4x^2) = 225 \] \[ 13x^2 - 72x + 99 = 0 \]
Теперь решимquadratic уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-72)^2 - 4 \cdot 13 \cdot 99 \] \[ D = 5184 - 5148 = 36 \]
Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня: \[ x = \frac{-(-72) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 13} = \frac{72 \pm 6}{26} \]
Находим два значения для \( x \):
- \( x_1 = \frac{78}{26} = 3 \)
- \( x_2 = \frac{66}{26} = \frac{33}{13} \)
Теперь найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \).
Для \( x_1 = 3 \): \[ y_1 = \frac{18 - 2 \cdot 3}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]
Для \( x_2 = \frac{33}{13} \): \[ y_2 = \frac{18 - 2 \cdot \frac{33}{13}}{3} = \frac{18 - \frac{66}{13}}{3} = \frac{\frac{234 - 66}{13}}{3} = \frac{\frac{168}{13}}{3} = \frac{56}{13} \]
Итак, точки пересечения прямой и окружности:
- \( (3, 4) \)
- \( \left(\frac{33}{13}, \frac{56}{13}\right) \)
Если вам нужно больше помощи или разъяснений, пожалуйста, дайте знать!
