Построить график функции y = - 1/2 x² + x + 1/2
Давайте построим график функции \( y = -\frac{1}{2} x^2 + x + \frac{1}{2} \).
Анализ функции: Это квадратичная функция, которая имеет форму \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = -\frac{1}{2} \), \( b = 1 \) и \( c = \frac{1}{2} \). Поскольку коээфициент \( a \) отрицательный, парабола будет направлена вниз.
Находим координаты вершины параболы: Вершина квадратичной функции находится в точке \( x = -\frac{b}{2a} \).
\[ x = -\frac{1}{2 \cdot -\frac{1}{2}} = 1 \]
Теперь подставим \( x = 1 \) в уравнение, чтобы найти соответствующее значение \( y \):
\[ y = -\frac{1}{2} (1)^2 + 1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 1 \]
Таким образом, вершина параболы: \( (1, 1) \).
Находим корни функции: Чтобы найти корни, приравняем \( y \) к нулю:
\[ -\frac{1}{2} x^2 + x + \frac{1}{2} = 0 \]
Умножим на -2 (чтобы избавиться от дроби):
\[ x^2 - 2x - 1 = 0 \]
Теперь используем формулу квадратного уравнения, \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \):
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2} \]
Таким образом, корни: \( x_1 = 1 + \sqrt{2} \) и \( x_2 = 1 - \sqrt{2} \).
Построение графика: Теперь, имея вершину и корни, мы можем построить график:
- Вершина: \( (1, 1) \)
- Корни: \( (1 + \sqrt{2}, 0) \) и \( (1 - \sqrt{2}, 0) \)
Дополнительные точки: Полезно также найти значения функции для других значений \( x \) (например, \( x = 0, -1, 2 \)).
\[ y(0) = -\frac{1}{2} (0)^2 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \] \[ y(-1) = -\frac{1}{2} (-1)^2 + (-1) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{2} = -1 \] \[ y(2) = -\frac{1}{2} (2)^2 + 2 + \frac{1}{2} = -2 + 2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
Заключение: Соединив все эти точки, мы можем построить параболу, которая будет иметь вершину в точке \( (1, 1) \) и пересекать ось \( x \) в точках \( (1 + \sqrt{2}, 0) \) и \( (1 - \sqrt{2}, 0) \).
Такой подход поможет вам построить график функции и понять основные ее характеристики. Если вам нужно больше помощи или есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
