Периметр параллелограмма АВСD равен 30 см, АВ:АD=1:2, угол А острый, sin А= 3/5, ВН высота параллелограмма, проведена к стороне АD. Найдите площадь трапеции НВСD

Для решения задачи, начнем с нахождения необходимых параметров нашего параллелограмма ABCD.

1. Определим стороны параллелограмма: Мы знаем, что периметр параллелограмма равен 30 см. Периметр P параллелограмма вычисляется по формуле: \[ P = 2(AB + AD) \] Так как отношение AB:AD = 1:2, можно обозначить: \[ AB = x, \quad AD = 2x \] Подставляя это в формулу периметра, получаем: \[ 2(x + 2x) = 30 \] Отсюда: \[ 2(3x) = 30 \implies 6x = 30 \implies x = 5 \] Таким образом, мы находим стороны: \[ AB = 5 \, \text{см}, \quad AD = 10 \, \text{см} \]

2. Найдем высоту BH: Угол A острый и нам дано, что \(\sin A = \frac{3}{5}\). Мы можем найти высоту BH через стороны и синус угла: \[ BH = AD \cdot \sin A = 10 \cdot \frac{3}{5} = 6 \, \text{см} \]

3. Площадь трапеции HBCD: Теперь, чтобы найти площадь трапеции HBCD, необходимо знать её основания и высоту. Основаниями будут стороны BC и AD, а высотой — BH. Поскольку ABCD — параллелограмм, то BC равно AB, следовательно: \[ BC = AB = 5 \, \text{см} \] Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \(a\) и \(b\) — основания (BC и AD) и \(h\) – высота (BH): \[ S = \frac{(5 + 10) \cdot 6}{2} = \frac{15 \cdot 6}{2} = \frac{90}{2} = 45 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь трапеции HBCD равна 45 см².