3^2x+1-8•3^x=3

Чтобы решить уравнение \(3^{2x+1} - 8 \cdot 3^x = 3\), начнем с упрощения.

1. Замените \(3^{2x}\) с помощью свойства степеней: \(3^{2x} = (3^x)^2\). Таким образом, \(3^{2x+1} = 3 \cdot (3^x)^2\).

2. Подставим эту замену в уравнение: \[ 3 \cdot (3^x)^2 - 8 \cdot 3^x = 3 \]

3. Давайте введем новую переменную: пусть \(y = 3^x\). Тогда у нас получится: \[ 3y^2 - 8y - 3 = 0 \]

4. Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 \]

5. Значит, корни уравнения найдутся по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 10}{6} \]

   Рассмотрим два случая:

   • \(y_1 = \frac{18}{6} = 3\)
   • \(y_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\)

6. Поскольку \(y = 3^x\), значение \(y_2 = -\frac{1}{3}\) нельзя принять, так как \(3^x\) всегда положительно. Поэтому остаётся только: \[ y_1 = 3 \implies 3^x = 3 \]

7. Следовательно, \(x = 1\).

Таким образом, решением уравнения является \(x = 1\).