В классном фотоальбоме 10 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вклеить в свободные места 6 фотографий
Чтобы определить, сколькими способами можно вклеить 6 фотографий в 10 свободных мест в классном фотоальбоме, можно воспользоваться комбинаторикой.
- Первым делом нужно выбрать, в какие 6 из 10 мест будут вклеены фотографии. Это можно сделать с помощью сочетаний. Количество сочетаний \( C(n, k) \) можно вычислить по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где \( n \) — общее количество мест (в данном случае 10), а \( k \) — количество фотографий (в данном случае 6).
- Подставляем значения в формулу:
\[ C(10, 6) = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6! \cdot 4!} \]
- Вычислим факториалы:
- \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6! \)
- \( 6! = 720 \)
- \( 4! = 24 \)
Теперь можно упростить:
\[ C(10, 6) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} \]
Выполнив вычисления:
\[ 10 \times 9 = 90 \] \[ 90 \times 8 = 720 \] \[ 720 \times 7 = 5040 \]
Теперь делим 5040 на 24:
\[ \frac{5040}{24} = 210 \]
- После того как выбрали места, необходимо учесть, что фотки можно разместить в любом порядке. Количество способов расположить 6 фотографий равно \( 6! \):
\[ 6! = 720 \]
- Теперь перемножаем количество способов выбрать места и количество способов расположить фотографии:
\[ 210 \times 720 = 151200 \]
Итак, всего существует 151200 способов вклеить 6 фотографий в 10 свободных мест в классном фотоальбоме.
