Период колебаний материальной точки равен 2,4 с, амплитуда колебаний равна 5 см, начальная фаза равна нулю. Каковы смещение, скорость и ускорение колеблю- щейся точки через 0,4 с после начала колебаний? Колеба- ния происходят по закону косинуса

Для решения задачи о колебаниях материальной точки, нам нужно воспользоваться формулами, описывающими гармонические колебания. Так как колебания происходят по закону косинуса, можно записать уравнение для смещения \( x(t) \) точки в следующий форме:

\[ x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi) \]

где:

• \( A \) — амплитуда колебаний (в данном случае \( 5 \) см),
• \( \omega \) — угловая частота,
• \( t \) — время,
• \( \phi \) — начальная фаза (здесь равна \( 0 \)).

1. Находим угловую частоту \( \omega \):

Период \( T \) колебаний равен \( 2,4 \) с. Угловая частота определяется формулой:

\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]

Подставим значение периода:

\[ \omega = \frac{2\pi}{2,4} \approx 2,618 \text{ рад/с} \]

2. Определим смещение \( x(t) \) через \( 0,4 \) с:

Теперь можем подставить время \( t = 0,4 \) с в уравнение смещения:

\[ x(0,4) = 5 \cdot \cos(2,618 \cdot 0,4 + 0) \]

Вычислим значение:

\[ x(0,4) = 5 \cdot \cos(1,0472) \approx 5 \cdot 0,5 = 2,5 \text{ см} \]

3. Находим скорость \( v(t) \):

Скорость определяется как производная от смещения по времени:

\[ v(t) = -A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t + \phi) \]

Подставляем значения:

\[ v(0,4) = -5 \cdot 2,618 \cdot \sin(2,618 \cdot 0,4) \]

Рассчитаем:

\[ v(0,4) = -5 \cdot 2,618 \cdot \sin(1,0472) \approx -5 \cdot 2,618 \cdot 0,866 \approx -11,31 \text{ см/с} \]

4. Находим ускорение \( a(t) \):

Ускорение — это производная скорости:

\[ a(t) = -A \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega t + \phi) \]

Подставляем значения:

\[ a(0,4) = -5 \cdot (2,618)^2 \cdot \cos(2,618 \cdot 0,4) \]

Вычисляем:

\[ a(0,4) = -5 \cdot 6,86 \cdot 0,5 \approx -17,15 \text{ см/с}^2 \]

Результаты:

• Смещение через \( 0,4 \) с: \( x(0,4) \approx 2,5 \) см
• Скорость через \( 0,4 \) с: \( v(0,4) \approx -11,31 \) см/с
• Ускорение через \( 0,4 \) с: \( a(0,4) \approx -17,15 \) см/с²

Эти величины помогают лучше понять динамику колебаний материальной точки в заданный момент времени.