Докажите тождество 1+tgt/1+ctgt=tgt

Чтобы доказать тождество \(\frac{1 + \tan x}{1 + \cot x} = \tan x\), начнем с преобразования левой части.

Напомним, что \(\cot x = \frac{1}{\tan x}\). Подставим это в выражение:

\[ \frac{1 + \tan x}{1 + \cot x} = \frac{1 + \tan x}{1 + \frac{1}{\tan x}} \]

Теперь упростим знаменатель:

\[ 1 + \frac{1}{\tan x} = \frac{\tan x + 1}{\tan x} \]

Таким образом, у нас получается:

\[ \frac{1 + \tan x}{\frac{\tan x + 1}{\tan x}} \]

Умножим числитель на обратное значение знаменателя:

\[ = (1 + \tan x) \cdot \frac{\tan x}{\tan x + 1} \]

Теперь, если умножим, мы получаем:

\[ = \frac{\tan x (1 + \tan x)}{\tan x + 1} \]

Сокращаем одинаковые множители:

\[ = \tan x \]

Таким образом, мы доказали, что:

\[ \frac{1 + \tan x}{1 + \cot x} = \tan x \]

Тождество верно.