При нажатии на кнопку этажа в лифте 23 этажного дома кнопка загорается а при повторном нажатии гаснет.в лифт зашли Вася Коля и Петя Вася нажал на 12 различных кнопок Коля на 14 Петя на 19 изначально ни одна кнопка не горела а в результате загорелись все сколько кнопок были нажатые трижды

Давайте разберёмся с задачей.

Предположим, что:

• Вася нажал 12 кнопок,
• Коля нажал 14 кнопок,
• Петя нажал 19 кнопок.

В результате все 23 кнопки загорелись. Если кнопка нажата нечетное количество раз, она будет гореть, если четное — гаснуть.

Обозначим:

• \( n \) — количество кнопок, которые были нажаты трижды.

Так как всего 23 кнопки, то определим все нажатия:

• Общее количество нажатий: \( 12 + 14 + 19 = 45 \).
• Пусть \( x \) — количество кнопок, нажатых один раз,
• \( y \) — количество кнопок, нажатых дважды,
• \( z \) — количество кнопок, нажатых трижды.

Согласно условию задачи, есть такие соотношения:

• \( x + y + z = 23 \) (все кнопки),
• \( x + 2y + 3z = 45 \) (все нажатия).

Теперь выразим \( y \) через \( x \) и \( z \) из первого уравнения: \[ y = 23 - x - z. \]

Подставим это во второе уравнение: \[ x + 2(23 - x - z) + 3z = 45. \] Раскроем скобки: \[ x + 46 - 2x - 2z + 3z = 45, \] соберем подобные: \[ -x + z + 46 = 45, \] что можно упростить до: \[ -x + z = -1 \quad \Rightarrow \quad z = x - 1. \]

Теперь, подставим \( z \) обратно в первое уравнение: \[ x + y + (x - 1) = 23, \] где \( y = 23 - x - (x - 1) = 24 - 2x \).

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \( z = x - 1 \),
2. \( y = 24 - 2x \).

Так как \( y \) и \( z \) должны быть неотрицательными, мы должны иметь:

• \( 24 - 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 12 \),
• \( x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \).

Таким образом, \( x \) может принимать значения от 1 до 12. Подставим минимальные и максимальные значения для нахождения \( z \):

1. Если \( x = 12 \), то \( z = 12 - 1 = 11 \) (но это невозможно, так как число кнопок всего 23).
2. Если \( x = 11 \), то \( z = 11 - 1 = 10 \).
3. Если \( x = 10 \), то \( z = 10 - 1 = 9 \).
4. Продолжаем до значения \( x = 1 \).

Если мы продолжим это, увидим, что возможным максимум для \( z \) может быть только 10.

Зная, что все кнопки были загорелись, можно заключить, что:

• На 10 кнопок было произведено три нажатия, то есть: \[ z = 10. \]

Таким образом, 10 кнопок были нажаты трижды.