В левой верхней клетке прямоугольной клетчатой поляны 10×12 сидят 7 жуков. За один ход один из жуков переползает на одну клетку вправо или на одну клетку вниз. Через несколько…
В левой верхней клетке прямоугольной клетчатой поляны 10×12 сидят 7 жуков. За один ход один из жуков переползает на одну клетку вправо или на одну клетку вниз. Через несколько ходов все жуки собрались в правой нижней клетке. Найдите наименьшее количество клеток, не посещённых ни одним жуком?
Чтобы решить эту задачу, начнем с анализа ситуации. У нас есть клетчатое поле размером 10×12, где жуки начинают находиться в левом верхнем углу (клетка (1,1)) и должны добраться до правого нижнего угла (клетка (10,12)).
Каждый жук может перемещаться только вправо или вниз. Для того чтобы достичь правого нижнего угла, каждому жукам необходимо пройти 9 клеток вниз (из 1 в 10) и 11 клеток вправо (из 1 в 12). Таким образом, минимальный путь каждого жука состоит из 20 ходов (9 вниз и 11 вправо).
Тем не менее, при этом направлении движения, за нахождение всех жуков в одной клетке (правом нижнем углу), они будут пересекаться в некоторых клетках. Давайте посмотрим, сколько клеток они могут посетить.
Если все семь жуков сами по себе используют минимально возможные маршруты, то они будут двигаться по траекториям, которые будут пересекаться. Например, один жук может двигаться по пути, в то время как другой может находиться на другой траектории, но все они, в конечном счете, соберутся в правом нижнем углу.
Теперь определим, сколько клеток будет непосещенными. Жуки начинают в клетке (1,1) и завершат свой путь в клетке (10,12). Каждому жуку нужно будет занять время, чтобы добраться до (10,12), проходя по клеткам, которые соответствуют его пути.
Рассмотрим полностью заполненное поле в пределах:
- Клетки от (1,1) до (10,12) составляют 10 * 12 = 120 клеток.
- Если все жуки объединятся в одной клетке, они смогут занять определенное количество клеток, через которые они проходили. Каждое движение жука проходит по нескольким клеткам.
Выводя всё это вместе, жуки будут действовать так, чтобы занять минимум клеток, что в конечном итоге означает, что они могут пропустить несколько клеток.
На наименьшее количество клеток, не посещённых ни одним жуком, можно сделать вывод следующим образом. У жуков, двигаясь к правому нижнему углу, есть вариант, что они могут оставить непосещенными центральные клетки поля, поскольку перемещение происходит по краям. Таким образом, общее количество непосещённых клеток составит:
Минимальное количество непосещённых клеток: 60 клеток.
Таким образом, ответ на задачу: 60 клеток, не посещённых ни одним жуком.
