Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 2 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник,…

Давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть длина прямоугольника Даши будет равна \( a \), а ширина – \( b \). Тогда площадь прямоугольника Даши будет равна \( S_D = a \cdot b \).

Для прямоугольника Кати:

• Длина: \( a - 2 \)
• Ширина: \( b + 3 \)

Таким образом, площадь прямоугольника Кати равна: \[ S_K = (a - 2)(b + 3) \]

Для прямоугольника Тани:

• Длина: \( a - 3 \)
• Ширина: \( b + 5 \)

Площадь прямоугольника Тани равна: \[ S_T = (a - 3)(b + 5) \]

По условию задачи площади прямоугольников Кати и Тани равны, то есть: \[ (a - 2)(b + 3) = (a - 3)(b + 5) \]

Теперь раскроем скобки: \[ ab + 3a - 2b - 6 = ab + 5a - 3b - 15 \]

Упрощая уравнение, мы можем избавиться от \( ab \) с обеих сторон: \[ 3a - 2b - 6 = 5a - 3b - 15 \]

Переносим все члены в одну сторону: \[ -2b + 3b + 6 - 15 + 5a - 3a = 0 \] \[ 1b - 2a - 9 = 0 \] \[ b = 2a + 9 \]

Теперь у нас есть выражение для \( b \) через \( a \). Находим периметр прямоугольника Даши, который равен: \[ P_D = 2(a + b) = 2(a + (2a + 9)) = 2(3a + 9) = 6a + 18 \]

Теперь, чтобы найти возможные значения периметра, нам нужно убедиться, что \( a \) и \( b \) – целые положительные числа, и при этом \( b = 2a + 9 \) также должно быть положительным. Поскольку \( a \) уже положительное, это условие соблюдается.

Таким образом, допустимые значения \( a \):

• \( a \) должно быть не меньше 1 (чтобы \( a \) и \( b \) были положительными целыми числами).

Теперь подставим разные целые значения \( a \):

1. Если \( a = 1 \), то \( b = 2(1) + 9 = 11 \), и периметр \( P_D = 6(1) + 18 = 24 \).
2. Если \( a = 2 \), то \( b = 2(2) + 9 = 13 \), и периметр \( P_D = 6(2) + 18 = 30 \).
3. Если \( a = 3 \), то \( b = 2(3) + 9 = 15 \), и периметр \( P_D = 6(3) + 18 = 36 \).
4. Если \( a = 4 \), то \( b = 2(4) + 9 = 17 \), и периметр \( P_D = 6(4) + 18 = 42 \).
5. Если \( a = 5 \), то \( b = 2(5) + 9 = 19 \), и периметр \( P_D = 6(5) + 18 = 48 \).
6. Если \( a = 6 \), то \( b = 2(6) + 9 = 21 \), и периметр \( P_D = 6(6) + 18 = 54 \).
7. Можно продолжать дальше, так как \( a \) может принимать любые целые значения от 1 и выше.

Таким образом, возможные значения периметра прямоугольника Даши выражаются через \( 6a + 18 \), где \( a \) – любое целое число больше или равное 1. Это наш полный ответ!