На балу присутствует не более 60 человек. Они танцуют в парах (один мужчина и одна женщина). В настоящий момент танцуют 3/4 всех мужчин и 4/5 всех женщин.Сколько людей…

Для решения этой задачи введем обозначения:

• Пусть \( M \) — общее количество мужчин.
• Пусть \( W \) — общее количество женщин.

По условию задачи, на балу танцуют \( \frac{3}{4} \) всех мужчин и \( \frac{4}{5} \) всех женщин. Общее количество танцующих пар (по одному мужчине и одной женщине в паре) будет равно:

\[ \frac{3}{4} M = \frac{4}{5} W. \]

Рассмотрим данное уравнение. Умножим обе части на 20 (наименьшее общее кратное 4 и 5), чтобы избавиться от дробей:

\[ 20 \cdot \left( \frac{3}{4} M \right) = 20 \cdot \left( \frac{4}{5} W \right), \]

что упрощается до:

\[ 15M = 16W. \]

Теперь выразим \( M \) через \( W \):

\[ M = \frac{16}{15} W. \]

Согласно условию, общее количество людей на балу не превышает 60, следовательно:

\[ M + W \leq 60. \]

Подставляем выражение для \( M \):

\[ \frac{16}{15} W + W \leq 60. \]

Объединим выражения:

\[ \frac{16}{15} W + \frac{15}{15} W \leq 60, \]

что дает:

\[ \frac{31}{15} W \leq 60. \]

Умножим обе стороны на 15, чтобы избавиться от дроби:

\[ 31W \leq 900. \]

Теперь разделим обе стороны на 31:

\[ W \leq \frac{900}{31} \approx 29.03. \]

Так как количество женщин должно быть целым числом, максимальное возможное значение для \( W \) — это 29. Подставим \( W = 29 \) обратно, чтобы найти \( M \):

\[ M = \frac{16}{15} \cdot 29 \approx 30.93. \]

Целое число для \( M \) будет 30 (не забывайте, что \( M \) должно также быть целым). Подставим \( W = 28 \):

\[ M = \frac{16}{15} \cdot 28 = \frac{448}{15} \approx 29.87. \]

Таким образом, \( M \) должно быть 29 или 30, и \( W = 28 \) также ведет к целому числу. Проверив для \( W = 28 \) и \( M = 30 \):

\[ 30 + 28 = 58. \]

Итак, общее количество присутствующих на балу:

\[ \boxed{58}. \]