На балу присутствует не более 25 человек. Они танцуют в парах.В настоящий момент танцуют 2/3 всех мужчин и 1/5 всех женщин. Сколько людей присутствует на балу?

Обозначим количество мужчин как \( m \), а количество женщин как \( w \).

По условию, на балу танцуют \( \frac{2}{3}m \) мужчин и \( \frac{1}{5}w \) женщин. Так как танцуют в парах, количество пар равно количеству танцующих мужчин, что также равно количеству танцующих женщин. Это даёт нам уравнение:

\[ \frac{2}{3}m = \frac{1}{5}w \]

Умножим обе стороны уравнения на 15, чтобы избавиться от дробей:

\[ 15 \cdot \frac{2}{3}m = 15 \cdot \frac{1}{5}w \] \[ 10m = 3w \]

Теперь выразим \( w \) через \( m \):

\[ w = \frac{10}{3}m \]

Сумма людей на балу:

\[ m + w = m + \frac{10}{3}m = \frac{13}{3}m \]

По условию, на балу присутствует не более 25 человек:

\[ \frac{13}{3}m \leq 25 \]

Умножим обе стороны на 3:

\[ 13m \leq 75 \]

Разделим на 13:

\[ m \leq \frac{75}{13} \approx 5.77 \]

Поскольку \( m \) – это целое число, максимальное значение \( m = 5 \).

Теперь подставим \( m = 5 \) в уравнение для \( w \):

\[ w = \frac{10}{3} \cdot 5 = \frac{50}{3} \approx 16.67 \]

Так как \( w \) также должно быть целым числом, попробуем использовать ближайшие целые значения для \( m \) и \( w \).

Если \( m = 3 \):

\[ w = \frac{10}{3} \cdot 3 = 10 \] \[ m + w = 3 + 10 = 13 \]

Если \( m = 4 \):

\[ w = \frac{10}{3} \cdot 4 \approx 13.33 \quad (\text{не целое}) \]

Если \( m = 5 \):

\[ w = \frac{10}{3} \cdot 5 \approx 16.67 \quad (\text{не целое}) \]

Таким образом, считаем \( m = 3 \) и \( w = 10\) – единственные подходящие целые числа.

Таким образом, на балу присутствует \( 13 \) человек.