А1+d(n-1)=An сколько будет трёхзначных чисел, делящихся только на два из чисел 2, 5, 7 и не делящихся на третье из этих чисел

Для решения данной задачи сначала определим, какие трехзначные числа соответствуют условию. Нам нужно найти три числа, на которые делится число: 2, 5 и 7, и при этом чтобы число не делилось на третье из них.

Трехзначные числа находятся в диапазоне от 100 до 999. Рассмотрим каждое из условий по отдельности.

1. Числа, делящиеся на 2 и 5, но не делящиеся на 7:

   • Число делится на 2 и 5, если оно заканчивается на 0 (поскольку наименьшее общее кратное 2 и 5 равно 10).
   • Д трехзначные числа, заканчивающиеся на 0, находятся в диапазоне от 100 до 990.
   • Такие числа: 100, 110, 120, ..., 990. Это арифметическая прогрессия с первым членом 100 и последним 990 и разностью 10.
   • Чтобы найти количество членов этой прогрессии, можем использовать формулу: \[ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 \] где \( a_n \) - последний член, \( a_1 \) - первый член, а \( d \) - разность. \[ n = \frac{990 - 100}{10} + 1 = 90 + 1 = 91 \]
   • Теперь нам нужно исключить числа, делящиеся на 7:
     • Такие числа также могут быть представлены как 70, 140, 210, ..., и так далее. Сначала найдем 3-х значные числа, делящиеся на 70 (это LCM на 2, 5 и 7).
     • Трехзначные числа, делящиеся на 70: 140, 210, 280, ..., 980.
     • Посчитаем количество: \( n = \frac{980 - 140}{70} + 1 = 12 \).
   • Таким образом, количество трехзначных чисел, делящихся на 2 и 5, но не делящихся на 7: \[ 91 - 12 = 79 \]

2. Числа, делящиеся на 2 и 7, но не делящиеся на 5:

   • Необходимо, чтобы числа были четными и делились на 7, но не заканчивались на 0 или 5.
   • Первые такие числа: 106, 112, ..., 994. Так же найдем общее количество, делящихся на 14 (LCM на 2 и 7).
   • Для нахождения таких чисел: 14, 28, 42, ..., 994.
   • Находим: \[ n = \frac{994 - 14}{14} + 1 = 71 \]
   • Теперь исключим те, которые делятся на 5: 70, 140, ..., 980. Это числа: 70, 140 (и все выражения которые согласуются на 14).
   • Они находятся каждые 70: от 140 до 980 насчитываем, что всего \( n = 13 \).
   • Таким образом, количество трехзначных чисел, делящихся на 2 и 7, но не на 5: \[ 71 - 13 = 58 \]

3. Числа, делящиеся на 5 и 7, но не делящиеся на 2:

   • Эти числа, оканчивающиеся на 5 (это единственный вариант, так как делится на 5).
   • Давайте найдем такие числа: 105, 115, ..., 995. Применим LCM:
   • Найдем числа делящиеся на 35, и найдем весь объем 100 до 999. \[ n = \frac{980 - 105}{35} + 1 = 25 \]

Теперь, если суммировать все эти результаты, мы получим общее количество трехзначных чисел, делящихся только на два из чисел 2, 5, 7 и не делящихся на третье из них: \[ 79 + 58 + 25 = 162 \] Ответ: 162 трехзначных чисел делятся только на два из чисел 2, 5 и 7, и не делятся на третье.