На балу присутствует не более 25 человек. Они танцуют в парах(один мужчина и одна женщина).В настоящий момент танцуют 2/3 всех мужчин и 1/5 всех женщин. Сколько людей присутствует…

Обозначим количество мужчин на балу как \( M \) и количество женщин как \( W \). По условию задачи мы знаем:

1. На балу присутствует не более 25 человек: \( M + W \leq 25 \).
2. На данный момент танцуют \( \frac{2}{3} M \) мужчин и \( \frac{1}{5} W \) женщин.

Так как пары танцуют, то число танцующих мужчин должно равняться числу танцующих женщин. Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[ \frac{2}{3} M = \frac{1}{5} W \]

Умножим обе стороны этого уравнения на 15 (наименьшее общее кратное 3 и 5):

\[ 10M = 3W \]

Отсюда выразим \( W \) через \( M \):

\[ W = \frac{10}{3} M \]

Теперь подставим \( W \) в неравенство:

\[ M + \frac{10}{3} M \leq 25 \]

Объединим выражения:

\[ \frac{3}{3} M + \frac{10}{3} M = \frac{13}{3} M \leq 25 \]

Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

\[ 13M \leq 75 \]

Теперь поделим обе стороны на 13:

\[ M \leq \frac{75}{13} \approx 5.77 \]

Поскольку \( M \) должно быть целым числом, то \( M \leq 5 \).

Теперь подставим возможные значения для \( M \) и найдем соответствующие значения для \( W \).

1. Если \( M = 5 \): \[ W = \frac{10}{3} \cdot 5 = \frac{50}{3} \approx 16.67 \quad \text{(не целое число)} \]

2. Если \( M = 4 \): \[ W = \frac{10}{3} \cdot 4 = \frac{40}{3} \approx 13.33 \quad \text{(не целое число)} \]

3. Если \( M = 3 \): \[ W = \frac{10}{3} \cdot 3 = 10 \quad \text{(целое число)} \] Тогда \( M + W = 3 + 10 = 13 \), что не превышает 25.

4. Если \( M = 2 \): \[ W = \frac{10}{3} \cdot 2 = \frac{20}{3} \approx 6.67 \quad \text{(не целое число)} \]

5. Если \( M = 1 \): \[ W = \frac{10}{3} \cdot 1 = \frac{10}{3} \approx 3.33 \quad \text{(не целое число)} \]

Таким образом, только при \( M = 3 \) и \( W = 10 \) у нас получается целое решение.

Итак, общее количество людей на балу:

\[ M + W = 3 + 10 = 13 \]

Ответ: на балу присутствует 13 человек.