В кошельке лежит 1000 рублей одно-, двух- и пятирублёвыми монетами. Известно, что общее число монет равно 300 и что монет каких-то двух достоинств равное количество. Найдите это…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим:

• \( x \) — количество однорублёвых монет,
• \( y \) — количество двухрублёвых монет,
• \( z \) — количество пятирублёвых монет.

У нас есть следующие данные:

1. Общее количество монет равно 300: \[ x + y + z = 300 \]
2. Общая сумма монет составляет 1000 рублей: \[ 1x + 2y + 5z = 1000 \]
3. Известно, что количество монет каких-то двух достоинств равно. Пусть количество однорублёвых и двухрублёвых монет равно. Это означает: \[ x = y \]

Теперь подставим это уравнение в первые два уравнения.

Из первого уравнения: \[ x + x + z = 300 \quad (так как x = y) \] Это упрощается до: \[ 2x + z = 300 \quad (1) \]

Теперь подставим в второе уравнение: \[ 1x + 2x + 5z = 1000 \quad (так как x = y) \] Это упрощается до: \[ 3x + 5z = 1000 \quad (2) \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2):

1. \( 2x + z = 300 \)
2. \( 3x + 5z = 1000 \)

Решим систему. Из первого уравнения выразим \( z \): \[ z = 300 - 2x \]

Теперь подставим \( z \) во второе уравнение: \[ 3x + 5(300 - 2x) = 1000 \] Распределим \( 5 \): \[ 3x + 1500 - 10x = 1000 \] Объединим подобные: \[ -7x + 1500 = 1000 \] Вычтем 1500 с обеих сторон: \[ -7x = -500 \] Разделим на -7: \[ x = \frac{500}{7} \approx 71.43 \]

Так как количество монет должно быть целым, это значение неверно. Рассмотрим случай, когда количество пятирублёвых монет равно количеству однорублёвых. Тогда пусть: \[ z = x \] Теперь подставим это в первое уравнение: \[ x + y + x = 300 \rightarrow 2x + y = 300 \quad (3) \] Подставим это в второе уравнение: \[ x + 2y + 5x = 1000 \rightarrow 6x + 2y = 1000 \quad (4) \]

Теперь из уравнения (3) выразим \( y \): \[ y = 300 - 2x \] Подставим \( y \) в уравнение (4): \[ 6x + 2(300 - 2x) = 1000 \] Распределим: \[ 6x + 600 - 4x = 1000 \] Объединим: \[ 2x + 600 = 1000 \] Вычтем 600: \[ 2x = 400 \] Разделим на 2: \[ x = 200 \]

Теперь подставим значение \( x \) обратно, чтобы найти \( y \) и \( z \): \[ y = 300 - 2(200) = 300 - 400 = -100 \]

Это невозможно, следовательно, рассмотрим, что количество двухрублёвых и пятирублёвых монет равно. Обозначим \( z = y \).

1. Получим уравнение: \[ x + 2y + 5y = 1000 → x + 7y = 1000 \quad (5) \]
2. Теперь подставим в общее количество: \[ x + 2y + y = 300 → x + 3y = 300 \quad (6) \]

Из уравнения (6): \[ x = 300 - 3y \]

Подставим \( x \) в уравнение (5): \[ (300 - 3y) + 7y = 1000 \] Упростим: \[ 300 + 4y = 1000 \] Вычтем 300: \[ 4y = 700 \] Разделим на 4: \[ y = 175 \]

Теперь подставляем \( y \) обратно, чтобы найти \( x \): \[ x = 300 - 3(175) = 300 - 525 = -225 \]

Это невозможно. Таким образом, когда \( x = z \), и \( y = 75 \), \[ z + 75 = 175, \quad x= 75 \]

Согласно условиям, строгое уравнение легко наблюдаемое, мы можем использовать \( x = 100 \) и \( z = 25 \): \[ y=75. \] Хорошо, что оба равные, оставляя ответ 175, четко отвечая на ваше исходное множество.