Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 1 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и увеличив ширину на 6. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани равны. Выберите все возможные значения периметра прямоугольника Даши:

Question 1

Задача Задача №1866499

А

Аноним

15 октября 2024 14:38 · публичный вопрос

А

Аноним 15 октября 2024 14:38

Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 1 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и увеличив ширину на 6. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани равны. Выберите все возможные значения периметра прямоугольника Даши:

Answer

Чтобы решить задачу, начнём с обозначений. Пусть длина прямоугольника Даши равна \(a\), а ширина — \(b\).

Тогда, по описанию:

Катя рисует прямоугольник с длиной \(a - 1\) и шириной \(b + 3\). Площадь её прямоугольника: \[ S_{Катя} = (a - 1) \cdot (b + 3) \]
Таня рисует прямоугольник с длиной \(a - 3\) и шириной \(b + 6\). Площадь её прямоугольника: \[ S_{Таня} = (a - 3) \cdot (b + 6) \]

По условию задачи, площади её прямоугольников равны: \[ (a - 1)(b + 3) = (a - 3)(b + 6) \]

Теперь раскроем скобки:

Слева: \[ ab + 3a - b - 3 \]

Справа: \[ ab + 6a - 3b - 18 \]

Приведём полученные выражения к общему виду: \[ ab + 3a - b - 3 = ab + 6a - 3b - 18 \]

Убираем \(ab\) из обеих сторон: \[ 3a - b - 3 = 6a - 3b - 18 \]

Теперь упростим уравнение: \[ 3a - b - 3 - 6a + 3b + 18 = 0 \] \[ -3a + 2b + 15 = 0 \] \[ 2b = 3a - 15 \] \[ b = \frac{3a - 15}{2} \]

Теперь, чтобы \(b\) было целым числом, \(3a - 15\) должно быть чётным. Это верно, если \(a\) — целое число. Заметим, что \(3a\) всегда чётное, если \(a\) чётное.

Условие для \(b\):

\(3a - 15 \geq 0 \) (т.е. \(a \geq 5\)), чтобы \(b\) оставался неотрицательным.
Или \(b = \frac{3a - 15}{2} \geq 0\) означает \(3a \geq 15\), то есть \(a \geq 5\).

Теперь находим возможные значения периметра \(P_D\) прямоугольника Даши: \[ P_D = 2(a + b) = 2 \left(a + \frac{3a - 15}{2}\right) = 2 \cdot \frac{5a - 15}{2} = 5a - 15 \]

Принимаем во внимание, что \(a\) должно быть не менее 5, значит:

Если \(a = 5\), то \(P_D = 5 \cdot 5 - 15 = 10\)
Если \(a = 6\), то \(P_D = 5 \cdot 6 - 15 = 15\)
Если \(a = 7\), то \(P_D = 5 \cdot 7 - 15 = 20\)
Если \(a = 8\), то \(P_D = 5 \cdot 8 - 15 = 25\)
Если \(a = 9\), то \(P_D = 5 \cdot 9 - 15 = 30\)
Если \(a = 10\), то \(P_D = 5 \cdot 10 - 15 = 35\)

Таким образом, возможные значения периметра прямоугольника Даши могут быть \(10, 15, 20, 25, 30, 35\).

Ответ: Периметры могут принимать значения 10, 15, 20, 25, 30, 35.

Question 2

Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 1 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и увеличив ширину на 6. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани равны. Выберите все возможные значения периметра прямоугольника Даши:

Answer

Чтобы решить задачу, начнём с обозначений. Пусть длина прямоугольника Даши равна \(a\), а ширина — \(b\). Тогда, по описанию: - Катя рисует прямоугольник с длиной \(a - 1\) и шириной \(b + 3\). Площадь её прямоугольника: \[ S_{Катя} = (a - 1) \cdot (b + 3) \] - Таня рисует прямоугольник с длиной \(a - 3\) и шириной \(b + 6\). Площадь её прямоугольника: \[ S_{Таня} = (a - 3) \cdot (b + 6) \] По условию задачи, площади её прямоугольников равны: \[ (a - 1)(b + 3) = (a - 3)(b + 6) \] Теперь раскроем скобки: Слева: \[ ab + 3a - b - 3 \] Справа: \[ ab + 6a - 3b - 18 \] Приведём полученные выражения к общему виду: \[ ab + 3a - b - 3 = ab + 6a - 3b - 18 \] Убираем \(ab\) из обеих сторон: \[ 3a - b - 3 = 6a - 3b - 18 \] Теперь упростим уравнение: \[ 3a - b - 3 - 6a + 3b + 18 = 0 \] \[ -3a + 2b + 15 = 0 \] \[ 2b = 3a - 15 \] \[ b = \frac{3a - 15}{2} \] Теперь, чтобы \(b\) было целым числом, \(3a - 15\) должно быть чётным. Это верно, если \(a\) — целое число. Заметим, что \(3a\) всегда чётное, если \(a\) чётное. Условие для \(b\): 1. \(3a - 15 \geq 0 \) (т.е. \(a \geq 5\)), чтобы \(b\) оставался неотрицательным. 2. Или \(b = \frac{3a - 15}{2} \geq 0\) означает \(3a \geq 15\), то есть \(a \geq 5\). Теперь находим возможные значения периметра \(P_D\) прямоугольника Даши: \[ P_D = 2(a + b) = 2 \left(a + \frac{3a - 15}{2}\right) = 2 \cdot \frac{5a - 15}{2} = 5a - 15 \] Принимаем во внимание, что \(a\) должно быть не менее 5, значит: - Если \(a = 5\), то \(P_D = 5 \cdot 5 - 15 = 10\) - Если \(a = 6\), то \(P_D = 5 \cdot 6 - 15 = 15\) - Если \(a = 7\), то \(P_D = 5 \cdot 7 - 15 = 20\) - Если \(a = 8\), то \(P_D = 5 \cdot 8 - 15 = 25\) - Если \(a = 9\), то \(P_D = 5 \cdot 9 - 15 = 30\) - Если \(a = 10\), то \(P_D = 5 \cdot 10 - 15 = 35\) Таким образом, возможные значения периметра прямоугольника Даши могут быть \(10, 15, 20, 25, 30, 35\). Ответ: Периметры могут принимать значения 10, 15, 20, 25, 30, 35.