Три волшебницы собрались на берегу озера, в котором обитают 125 кувшинок. По мановению палочки цветок полностью раскрывает лепестки, а при повторном взмахе - полностью закрывает.…
Три волшебницы собрались на берегу озера, в котором обитают 125 кувшинок. По мановению палочки цветок полностью раскрывает лепестки, а при повторном взмахе - полностью закрывает. Изначально все бутоны закрыты. Первая волшебница взмахнула палочкой над 117 различными кувшинками, вторая - над 119, а третья - над 113. В результате все цветы раскрылись. Над сколькими кувшинками взмахнули трижды?
Давайте внимательно разберем задачу.
У нас есть 125 кувшинок, и каждая волшебница делает свои махи палочкой. Оначинаем с того, что все кувшинки изначально закрыты. Каждый раз, когда волшебница взмахивает палочкой, кувшинка открывается или закрывается в зависимости от того, была она открыта ранее или нет.
- Первая волшебница взмахнула палочкой над 117 кувшинками.
- Вторая волшебница взмахнула над 119 кувшинками.
- Третья волшебница взмахнула над 113 кувшинками.
Обозначим количество кувшинок, над которыми все три волшебницы взмахнули палочкой, как \( x \).
Теперь рассмотрим, сколько раз каждая кувшинка подвергается взмаху:
- Кувшинки, над которыми волшебницы махали по одному разу, откроются.
- Кувшинки, над которыми махали дважды, останутся закрытыми (так как открываются и закрываются повторно).
- Кувшинки, над которыми махали трижды, останутся открытыми.
Поскольку все кувшинки в итоге раскрыты, это означает, что они должны находиться либо в первой, либо в третьей ситуации. Давайте использовать принцип включения-исключения для нахождения количества кувшинок, над которыми махнули трижды.
Общее число махов: \[ 117 + 119 + 113 - x - y - z + x = 125, \] где \( y \) — кувшинки, над которыми махнули 2 раза, а \( z \) — кувшинки, над которыми махнули 1 раз.
Теперь решим уравнение для нахождения количества кувшинок, над которыми махнули трижды:
Обозначим суммарное количество махов: \[ 117 + 119 + 113 = 349. \] Прибавим количество кувшинок, над которыми махнули три раза: \[ 349 - 2y - 3x = 125. \] Исходя из этого, можем записать: \[ 2y + 3x = 349 - 125 = 224. \]
Для решения данной системы нам нужно учесть, что \( x + y + z = 125 \), и это позволит нам найти значение \( x \), а затем решить всю систему.
При решении мы можем заметить, что \( z = 125 - x - y \).
Теперь у нас есть две переменные и одно уравнение. Мы можем подставить различные значения для нахождения правильного комбинации.
В итоге, количество кувшинок, над которыми взмахнули трижды, равно 9.
