При нажатие кнопок этажа в 23-этажном доме кнопка загорается, а при повторном нажатие гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12различных кнопок, Коля на 14,Петя на…
При нажатие кнопок этажа в 23-этажном доме кнопка загорается, а при повторном нажатие гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12различных кнопок, Коля на 14,Петя на 19.Изначально кнопки не горели, а после загорелись всё. Сколько кнопок было начато трижды?
Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся методом, который включает обозначение, сколько раз каждая кнопка была нажата.
Обозначим количество кнопок, которые были нажаты единожды, дважды и трижды как \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) соответственно.
Из условия задачи мы знаем, что:
- Вася нажал на 12 различных кнопок,
- Коля нажал на 14 различных кнопок,
- Петя нажал на 19 различных кнопок.
В итоге, общее количество нажатий кнопок можно выразить следующим образом:
\[ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 12 + 14 + 19 = 45 \]
При этом дано, что общее количество кнопок в лифте равно 23, значит,
\[ x_1 + x_2 + x_3 = 23 \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \(x_1 + x_2 + x_3 = 23\)
- \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 45\)
Чтобы решить эту систему, мы можем выразить \(x_1\) из первого уравнения:
\[ x_1 = 23 - x_2 - x_3 \]
Подставим \(x_1\) во второе уравнение:
\[ (23 - x_2 - x_3) + 2x_2 + 3x_3 = 45 \]
Упрощаем это уравнение:
\[ 23 - x_2 - x_3 + 2x_2 + 3x_3 = 45 \] \[ 23 + x_2 + 2x_3 = 45 \] \[ x_2 + 2x_3 = 22 \]
Теперь у нас есть новая система уравнений:
- \(x_1 + x_2 + x_3 = 23\)
- \(x_2 + 2x_3 = 22\)
Мы можем выразить \(x_2\) из второго уравнения:
\[ x_2 = 22 - 2x_3 \]
Подставим \(x_2\) в первое уравнение:
\[ x_1 + (22 - 2x_3) + x_3 = 23 \] \[ x_1 + 22 - x_3 = 23 \] \[ x_1 - x_3 = 1 \]
Таким образом, мы можем выразить \(x_1\):
\[ x_1 = x_3 + 1 \]
Теперь подставим это значение в уравнение \(x_2 = 22 - 2x_3\) и выясним, сколько кнопок было нажато трижды (\(x_3\)):
Мы знаем, что \(x_1 + x_2 + x_3 = 23\):
\[ (x_3 + 1) + (22 - 2x_3) + x_3 = 23 \]
Теперь упростим уравнение:
\[ x_3 + 1 + 22 - 2x_3 + x_3 = 23 \] \[ 1 + 22 = 23 \]
Эти значения подтверждают, что при \(x_3 = 0\), \(x_1\) и \(x_2\) также удовлетворяют уравнению. Теперь, если \(x_3 = 0\), значит, кнопки не были нажаты трижды. Таким образом, количество кнопок, на которые было нажато трижды (то есть \(x_3\)), равно \(0\).
Итак, ответ на вопрос: Количество кнопок, нажимаемых трижды, равно 0.
