Даша нарисовала прямоугольник с целыми сторонами. Катя нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 2 и увеличив ширину на 3. Таня тоже нарисовала свой прямоугольник, уменьшив длину Дашиного на 3 и увеличив ширину на 5. Оказалось, что площади прямоугольников Кати и Тани равны. Выберите все возможные значения периметра прямоугольника Даши: 50,52,54, 100,206

Для решения этой задачи сначала определим переменные. Пусть длина прямоугольника Даши равна \( a \), а ширина — \( b \). Тогда площадь прямоугольника Даши можно записать как \( S_D = a \times b \).

Теперь рассмотрим прямоугольники Кати и Тани.

• Катя уменьшила длину на 2 и увеличила ширину на 3:

  • Длина Кати: \( a - 2 \)
  • Ширина Кати: \( b + 3 \)
  • Площадь Кати:
    \[ S_K = (a - 2)(b + 3) = ab + 3a - 2b - 6 \]

• Таня уменьшила длину на 3 и увеличила ширину на 5:

  • Длина Тани: \( a - 3 \)
  • Ширина Тани: \( b + 5 \)
  • Площадь Тани:
    \[ S_T = (a - 3)(b + 5) = ab + 5a - 3b - 15 \]

Согласно условию задачи, площади Кати и Тани равны, поэтому можем приравнять их площади:

\[ ab + 3a - 2b - 6 = ab + 5a - 3b - 15 \]

Упрощая это уравнение, получаем:

\[ 3a - 2b - 6 = 5a - 3b - 15 \]

Переносим все термины с \( a \) и \( b \) в одну сторону:

\[ 3a - 5a + 3b - 2b = -15 + 6 \]

Это приводит к:

\[ -2a + b = -9 \]

Упростим это уравнение:

\[ b = 2a - 9 \]

Теперь мы можем вычислить периметр прямоугольника Даши, который равен:

\[ P = 2(a + b) = 2(a + (2a - 9)) = 2(3a - 9) = 6a - 18 \]

Теперь определим возможные значения \( P \). Подставим значения \( P \) из предложенных вариантов:

1. \( P = 50 \): \[ 50 = 6a - 18 \Rightarrow 6a = 68 \Rightarrow a = \frac{68}{6} \text{ (не целое число)} \]

2. \( P = 52 \): \[ 52 = 6a - 18 \Rightarrow 6a = 70 \Rightarrow a = \frac{70}{6} \text{ (не целое число)} \]

3. \( P = 54 \): \[ 54 = 6a - 18 \Rightarrow 6a = 72 \Rightarrow a = 12 \text{ (целое число)} \] Для \( b: \, b = 2(12) - 9 = 24 - 9 = 15 \)

4. \( P = 100 \): \[ 100 = 6a - 18 \Rightarrow 6a = 118 \Rightarrow a = \frac{118}{6} \text{ (не целое число)} \]

5. \( P = 206 \): \[ 206 = 6a - 18 \Rightarrow 6a = 224 \Rightarrow a = \frac{224}{6} \text{ (не целое число)} \]

Таким образом, единственным возможным значением периметра прямоугольника Даши, который соответствует целым сторонам, является \( P = 54 \).

Ответ: 54.