17:46 Библиотека МЭШ uchebnik.mos.ru мэш Ученик ЗАДАНИЕ 4 Введите ответ в числовое поле При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии - гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля - на 14, Петя - на 19. Изначально ни одна кнопка не горела, а в результате загорелись все. Сколько кнопок были нажаты трижды? Ответить 01:21:20 Завершить 3 / 8
Давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом.
У нас есть 23 кнопки на лифте, и при нажатии кнопка либо загорается, либо гаснет. Из условия задачи известно, что:
- Вася нажал на 12 кнопок,
- Коля нажал на 14 кнопок,
- Петя нажал на 19 кнопок.
Все кнопки зажглись, что означает, что исходное состояние (когда ни одна кнопка не горела) изменилось, и теперь все кнопки горят.
Обозначим:
- \( x \) - количество кнопок, которые были нажаты трижды.
- \( y \) - количество кнопок, которые были нажаты дважды.
- \( z \) - количество кнопок, которые были нажаты один раз.
Тогда у нас есть следующие уравнения:
Общее количество нажатий: \[ 12 + 14 + 19 = 45 \]
Общее количество зажжённых кнопок (все 23 кнопки): \[ z + 2y + 3x = 23 \]
Также мы знаем, что все нажатые кнопки - это 23 кнопки.
Теперь, чтобы определить, сколько кнопок были нажаты трижды, выражаем \( z \) и \( y \) через \( x \):
Из первого уравнения мы можем выразить \( z + y \): \[ z + y = 23 - x \]
Подставляем \( z = 23 - x - y \) во второе уравнение: \[ (23 - x - y) + 2y + 3x = 23 \] Упрощаем: \[ 23 - x - y + 2y + 3x = 23 \] \[ 2x + y = 0 \quad (1) \]
Для упрощения, у нас получается, что \( y = -2x \). Поскольку \( y \) – это количество кнопок, нельзя допускать отрицательных значений, то \( x \) может быть равно только 0 или 1.
Если \( x = 0 \), тогда \( y = 0 \), и нет кнопок, нажатых трижды.
Если \( x = 1\), тогда \( y = 2 \) и \( z = 20 \). Так, 20 кнопок зажглись нажатием всего один раз, 2 кнопки нажаты дважды и 1 кнопка — трижды.
Таким образом, количество кнопок, которые были нажаты трижды, составляет 1.
Ответ: 1.
