(3x+12)×(2x+10)×(x²-2x)>0
Чтобы решить неравенство \((3x + 12) \times (2x + 10) \times (x^2 - 2x) > 0\), начнем с определения нулевых значений каждого множителя.
Первый множитель: \(3x + 12 = 0\) \[ 3x = -12 \Rightarrow x = -4 \]
Второй множитель: \(2x + 10 = 0\) \[ 2x = -10 \Rightarrow x = -5 \]
Третий множитель: \(x^2 - 2x = 0\) \[ x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2 \]
Теперь у нас есть точки, в которых произведение становится равным нулю: \(x = -5, -4, 0, 2\).
Следующий шаг — определить интервалы, на которых произведение положительно. Мы можем оценить знак выражения на участках, разделенных найденными нулями:
- Интервал 1: \( (-\infty, -5) \)
- Интервал 2: \( (-5, -4) \)
- Интервал 3: \( (-4, 0) \)
- Интервал 4: \( (0, 2) \)
- Интервал 5: \( (2, +\infty) \)
Теперь проверим знак произведения на каждом из этих интервалов, выбрав тестовые значения:
Интервал 1: \(x = -6\) \[ (3(-6) + 12) \times (2(-6) + 10) \times ((-6)^2 - 2(-6)) = (-6) \times (-2) \times (36 + 12) > 0 \]
Интервал 2: \(x = -4.5\) \[ (3(-4.5) + 12) \times (2(-4.5) + 10) \times ((-4.5)^2 - 2(-4.5)) = (0.5) \times (- -) \times (20.25) < 0 \]
Интервал 3: \(x = -1\) \[ (3(-1) + 12) \times (2(-1) + 10) \times ((-1)^2 - 2(-1)) = (9) \times (8) \times (3) > 0 \]
Интервал 4: \(x = 1\) \[ (3(1) + 12) \times (2(1) + 10) \times ((1)^2 - 2(1)) = (15) \times (12) \times (-1) < 0 \]
Интервал 5: \(x = 3\) \[ (3(3) + 12) \times (2(3) + 10) \times ((3)^2 - 2(3)) = (21) \times (16) \times (3) > 0 \]
Теперь мы можем подвести итог:
- Положительные интервалы: \( (-\infty, -5) \), \( (-4, 0) \), \( (2, +\infty) \)
- Нули: \( x = -5, -4, 0, 2 \) (не включаем в решение, так как искомое неравенство должно быть строго больше нуля)
Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -5) \cup (-4, 0) \cup (2, +\infty) \]
