На балу присутствует не более 20 человек.Они танцуют в парах.В настоящий момент танцуют 2, 5 всех мужчин и 4, 7 всех женщин сколько людей присутствует на балу

Давайте решим задачу пошагово.

1. Обозначим количество мужчин на балу как \( m \), а количество женщин как \( w \). Тогда общее количество людей на балу будет \( m + w \).

2. Из условия задачи известно, что на балу присутствует не более 20 человек, то есть \( m + w \leq 20 \).

3. В данное время танцуют \( \frac{2}{5} \) всех мужчин, что можно записать как \( \frac{2}{5}m \), и \( \frac{4}{7} \) всех женщин, то есть \( \frac{4}{7}w \).

4. Пары танцующих образуют пары мужчин и женщин. Следовательно, количество танцующих пар должно быть одинаковым: \[ \frac{2}{5}m = \frac{4}{7}w \]

5. Чтобы избавиться от дробей, умножим обе стороны уравнения на 35 (наименьшее общее кратное 5 и 7): \[ 35 \cdot \frac{2}{5}m = 35 \cdot \frac{4}{7}w \] Это приведёт к: \[ 14m = 20w \]

6. Разделим обе стороны на 2: \[ 7m = 10w \quad \Rightarrow \quad \frac{m}{w} = \frac{10}{7} \] Таким образом, количество мужчин можно выразить через количество женщин: \[ m = \frac{10}{7}w \]

7. Подставим \( m \) в общее уравнение: \[ \frac{10}{7}w + w \leq 20 \] Перепишем уравнение: \[ \frac{10}{7}w + \frac{7}{7}w \leq 20 \] Это равно: \[ \frac{17}{7}w \leq 20 \] Умножим обе стороны на 7: \[ 17w \leq 140 \quad \Rightarrow \quad w \leq \frac{140}{17} \approx 8.24 \] Поскольку количество женщин должно быть целым числом, максимальное количество женщин \( w \) может быть 8.

8. Подставим \( w = 8 \) в уравнение для мужчин: \[ m = \frac{10}{7} \cdot 8 = \frac{80}{7} \approx 11.43 \] Так как \( m \) также должно быть целым числом, попробуем следующее меньшее значение для \( w \).

Если \( w = 7 \): \[ m = \frac{10}{7} \cdot 7 = 10 \]

Теперь проверим общее количество людей: \[ m + w = 10 + 7 = 17 \quad (\text{это меньше 20}) \]

Таким образом, на балу присутствует 17 человек.