В равнобедренном треугольнике медиана BK = 10, боковая сторона BC = 26. Найдите длину отрезка MN, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

В равнобедренном треугольнике медиана BK делит основание AC на два равных отрезка. Поскольку треугольник равнобедренный, можно обозначить середины боковых сторон как точки M и N.

Давайте рассмотрим данный треугольник ABC, где AB = AC и BC — боковая сторона. Медиана BK, проведенная к основанию AC, делит его пополам, то есть точка K является серединой отрезка AC.

Так как длинна медианы BK = 10, можем воспользоваться формулой для нахождения длины медианы:

\[ m = \sqrt{\frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}} \]

где \( m \) — длина медианы, \( a \) и \( b \) — длины боковых сторон, а \( c \) — длина основания (в данном случае, отрезка AC).

В нашем случае мы можем определить длину основания AC, так как угловые стороны равны:

\[ BK^2 = \frac{2BC^2 + 2BC^2 - AC^2}{4} \] \[ 10^2 = \frac{2(26^2) + 2(26^2) - AC^2}{4} \]

Решим это уравнение:

\[ 100 = \frac{2(676) + 2(676) - AC^2}{4} \] \[ 100 \cdot 4 = 2(676) + 2(676) - AC^2 \] \[ 400 = 2704 - AC^2 \] \[ AC^2 = 2704 - 400 \] \[ AC^2 = 2304 \] \[ AC = \sqrt{2304} = 48 \]

Теперь к нам возвращается отрезок MN, который соединяет середины сторон AB и AC. Поскольку стороны AB и AC равны, и по свойству середины отрезков в треугольнике:

\[ MN = \frac{1}{2} AC \]

Таким образом, длина отрезка MN будет равна:

\[ MN = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24. \]

Итак, длина отрезка MN равна 24.