На Балу танцуют не более 25человек, они танцуют в парах (мужчина с женщиной) Сейчас танцуют 2/3всех мужчин и 1/5всех девушек. сколько людей присутствуют на балу

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Пусть количество мужчин на балу обозначим как \( M \), а количество девушек - \( D \). Поскольку на балу танцуют пары (мужчина с женщиной), общее количество людей не может превышать 25, то есть \( M + D \leq 25 \).

2. Из условия задачи известно, что сейчас танцуют \( \frac{2}{3}M \) мужчин и \( \frac{1}{5}D \) девушек.

3. Поскольку каждую пару составляют один мужчина и одна женщина, количество танцующих мужчин и девушек должно быть равно, следовательно:

   \[ \frac{2}{3}M = \frac{1}{5}D. \]

4. Теперь выразим \( D \) через \( M \). Умножим обе стороны уравнения на 15 (наименьшее общее кратное для 3 и 5):

   \[ 15 \cdot \frac{2}{3}M = 15 \cdot \frac{1}{5}D \\ 10M = 3D. \]

5. Теперь выразим \( D \):

   \[ D = \frac{10}{3}M. \]

6. Подставим это значение \( D \) в неравенство, чтобы найти количество мужчин:

   \[ M + \frac{10}{3}M \leq 25 \\ \frac{13}{3}M \leq 25. \]

7. Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби:

   \[ 13M \leq 75 \\ M \leq \frac{75}{13} \approx 5.77. \]

8. Так как количество мужчин \( M \) должно быть целым числом, то максимальное возможное значение \( M \) - это 5.

9. Подставим \( M = 5 \) в уравнение для \( D \):

   \[ D = \frac{10}{3} \cdot 5 = \frac{50}{3} \approx 16.67. \]

10. Поскольку \( D \) также должно быть целым числом, пробуем \( M = 3 \):

    \[ D = \frac{10}{3} \cdot 3 = 10. \]

11. Проверим, удовлетворяют ли \( M = 3 \) и \( D = 10 \) условию: \( M + D = 3 + 10 = 13 \), что меньше 25.

12. Теперь проверим количество танцующих: \( \frac{2}{3} \cdot 3 = 2 \) мужчины и \( \frac{1}{5} \cdot 10 = 2 \) девушки. Всё верно, парами танцуют.

Таким образом, на балу присутствуют 13 человек (3 мужчины и 10 девушек).