Петя записал на доске несколько различных двузначных чисел так, чтобы сумма никаких двух из них не была равна 88. Какое максимальное количество чисел мог написать Петя?
Чтобы решить эту задачу, давайте предположим, что Петя записал двузначные числа от 10 до 99. Сумма двух чисел равна 88, если одно из них равно \( x \), а другое \( 88 - x \).
Таким образом, нужно определить пары чисел \( (x, 88 - x) \), которые лежат в диапазоне от 10 до 99.
Пусть \( x \) — двузначное число. Тогда \( x \) должно быть не меньше 10 и не больше 99. Рассмотрим ограничения:
- \( x \geq 10 \)
- \( 88 - x \geq 10 \) ⇒ \( x \leq 78 \)
Следовательно, \( x \) может принимать значения от 10 до 78 (включительно). Это дает нам 69 возможных чисел (от 10 до 78). Для каждого \( x \) в этом диапазоне \( 88 - x \) также будет двузначным и составит пары.
Однако Петя не может записывать оба числа из пары, поэтому мы можем выбирать только одно число из каждой пары.
Сначала определим количество таких пар:
- Числа от 10 до 78: \( 10, 11, 12, \ldots, 78 \) — всего 69 чисел.
- Пары: \( (10, 78), (11, 77), (12, 76), \ldots, (39, 49), (40, 48), \ldots, (78, 10) \) — все числа 10 до 39 могут быть парными с числами 78 до 49 соответственно.
Так как парами являются \( x \) и \( 88 - x \), то количество пар будет равно 34 (каждая пара включает два числа). Поскольку нам нужно выбрать только одно число из каждой пары, мы можем выбрать либо все числа от 10 до 39 или от 49 до 78.
Таким образом, мы можем взять:
- 34 числа от 10 до 39 или
- 34 числа от 49 до 78
- А также одно число — 40.
Таким образом, мы можем записать максимум \( 34 + 1 = 35 \) двузначных чисел, которые удовлетворяют условию.
Ответ: Максимальное количество чисел, которое мог написать Петя, равно 35.
