Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также…

Обозначим числа Анны как \(a_1, a_2, a_3\) и числа Бориса как \(b_1, b_2, b_3\).

Из условия задачи мы знаем:

1. У Анны и Бориса есть одно общее число, пусть это число будет \(x\).
2. Если сложить любые два числа Анны, то получится одно из чисел Бориса.

Допустим, \(x\) — общее число. Тогда Анна может загадать числа, например, \(x, a_2, a_3\), а Борис — \(x, b_2, b_3\).

Согласно условиям, мы можем записать следующее:

• \(a_2 + a_3 = b_i\) для каждого \(i\), где \(b_i\) — одно из чисел Бориса.
• В нашем случае Борис назвал число 10, так что \(b_1 = 10\).

Теперь, предположим, что \(x\) равно \(b_2\). Мы знаем, что \(a_2 + a_3 = 10\) (так как Борис назвал 10).

Также насчет выбора Анны:

• Она назвала число, которое в 3 раза меньше одного из чисел Бориса. Поскольку Борис назвал 10, и это число может быть одним из \(b_1\), \(b_2\) или \(b_3\), получаем, что можно поставить \(x = \frac{10}{3}\), и таким образом Анна назвала \(x\) = 3 (но \(x\) должно быть целым положительным числом).
• Если \(b_2=10\), то она могла бы назвать \( \frac{10}{3}=3.33\), что не подходит, но могло бы \(b_3 = 30\) (то есть 3, так что можно по другому изменить подход).

Поскольку это затрудняет решение, можно вернуться к исходным числам:

• Если \(x = 5\), тогда:

1. \(a_2 + a_3 = 10\) можно разложить на \(a_2 = 4\) и \(a_3 = 6\).
2. Таким образом, \(a_1 = x = 5\).

В итоге, старые числа могут быть \( (5, 4, 6) \) для Анны, что дает \(b_2 = a_2 + a_3 = 4 + 6 = 10\), и вывод: число, что назовёт Анна — 5.