Найдите 45√5 cos α, если tg α = -1/2, и α принадлежит ( 3π/2 ; 2π )

Для решения задачи нам нужно найти значение выражения \( 45\sqrt{5} \cos \alpha \), зная, что \( \tan \alpha = -\frac{1}{2} \) и \( \alpha \) находится в третьем четверти (интервал \( \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right) \)).

1. Определение характеристик угла: В третьем квадранте синус и косинус отрицательные, следовательно косинус и синус будут иметь такие знаки:

   • \( \sin \alpha < 0 \)
   • \( \cos \alpha < 0 \)

2. Используем отношение тангенса: \[ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\frac{1}{2} \] Это означает, что синус и косинус могут быть выражены через одно из них в зависимости от отношения: \[ \sin \alpha = -\frac{1}{2} \cos \alpha \]

3. Найдем значения \( \sin \alpha \) и \( \cos \alpha \) через тригонометрические единицы: Поскольку мы используем \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), подставим \( \sin \alpha \): \[ \left(-\frac{1}{2} \cos \alpha\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] Это даст: \[ \frac{1}{4} \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Объединим выражения: \[ \frac{5}{4} \cos^2 \alpha = 1 \] Следовательно: \[ \cos^2 \alpha = \frac{4}{5} \quad \Rightarrow \quad \cos \alpha = -\sqrt{\frac{4}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \quad (\text{так как в третьем квадранте косинус отрицателен}) \]

4. Найдём \( \sin \alpha \): \[ \sin \alpha = -\frac{1}{2} \cos \alpha = -\frac{1}{2} \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = \frac{1}{\sqrt{5}} \]

5. Теперь найдём значение \( 45\sqrt{5} \cos \alpha \): \[ 45\sqrt{5} \cos \alpha = 45\sqrt{5} \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = -90 \]

Итак, ответ: \[ 45\sqrt{5} \cos \alpha = -90 \]