Простое число р таково, что для любых а и b числа 10а+ Зи а+ 8b или оба делятся на р, или оба не делятся. Чему может быть равно р? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Для решения задачи нам нужно правильно понять условие. Итак, нам дано, что для любых целых чисел \(a\) и \(b\) выражение \(10a + 3a + 8b\) (или оба делятся на простое число \(p\), или оба не делятся на него).

Сначала упростим выражение:

\[ 10a + 3a + 8b = 13a + 8b \]

Таким образом, нам нужно выяснить, при каких условиях \(p\) делит \(13a + 8b\) или не делит его.

Эта ситуация подводит нас к тезису о том, что \(p\) должно быть таким, чтобы различные комбинации \(a\) и \(b\) всегда приводили к одному и тому же результату по делимости. Это может быть настоящей проблемой, поскольку мы используем целые значения \(a\) и \(b\).

Следует исследовать значения, когда \(a = 0\) и \(b = 1\):

\[ 13(0) + 8(1) = 8 \]

И \(a = 1\) и \(b = 0\):

\[ 13(1) + 8(0) = 13 \]

Теперь все возможные простые делители 8 и 13 — это 2 и 13.

Затем проверим числа:

• Если \(p = 2\):

  • Для \(a = 0\) и \(b = 1\), \(8\) делится на \(2\), это верно.
  • Для \(a = 1\) и \(b = 0\), \(13\) не делится на \(2\), это также верно, значит, это удовлетворяет условию задачи.

• Если \(p = 13\):

  • Для \(a = 0\) и \(b = 1\), \(8\) не делится на \(13\), это верно.
  • Для \(a = 1\) и \(b = 0\), \(13\) делится на \(13\), также верно.

Таким образом, возможные варианты простого числа \(p\) таковы:

1. 2
2. 13

Записывая в отдельные поля, мы получаем:

2

13

Эти числа являются подходящими вариантами для \(p\).