0.75 в степени одна восьмая умножить на 4 в степени одна четвёртая умножить на 12 в степени семь восьмых

Чтобы решить выражение \( 0.75^{\frac{1}{8}} \times 4^{\frac{1}{4}} \times 12^{\frac{7}{8}} \), давайте разберёмся с каждым элементом по отдельности.

1. Сначала преобразим 0.75: \[ 0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \] Поэтому, \( 0.75^{\frac{1}{8}} = \left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{8}} = \frac{3^{\frac{1}{8}}}{4^{\frac{1}{8}}} \).

2. Далее работаем с \( 4^{\frac{1}{4}} \): \[ 4 = 2^2 \Longrightarrow 4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} \]

3. Теперь завершаем с \( 12^{\frac{7}{8}} \): \[ 12 = 3 \times 4 = 3 \times 2^2 \Longrightarrow 12^{\frac{7}{8}} = (3 \times 2^2)^{\frac{7}{8}} = 3^{\frac{7}{8}} \times (2^2)^{\frac{7}{8}} = 3^{\frac{7}{8}} \times 2^{\frac{14}{8}} = 3^{\frac{7}{8}} \times 2^{\frac{7}{4}} \] При этом, \( 2^{\frac{7}{4}} = 2^{1.75} = 2^1 \times 2^{0.75} = 2 \times 2^{\frac{3}{4}} \).

Теперь объединим все эти части вместе: \[ 0.75^{\frac{1}{8}} \times 4^{\frac{1}{4}} \times 12^{\frac{7}{8}} = \frac{3^{\frac{1}{8}}}{4^{\frac{1}{8}}} \times \sqrt{2} \times 3^{\frac{7}{8}} \times 2^{\frac{7}{4}} \]

Теперь давайте упрощать: \[ = \frac{3^{\frac{1}{8}} \times 3^{\frac{7}{8}}}{4^{\frac{1}{8}}} \times \sqrt{2} \times 2^{\frac{7}{4}} \] \[ = \frac{3^{1}}{4^{\frac{1}{8}}} \times 2^{1/2 + \frac{7}{4}} = \frac{3}{4^{\frac{1}{8}}} \times 2^{\frac{2}{4} + \frac{7}{4}} = \frac{3}{4^{\frac{1}{8}}} \times 2^{\frac{9}{4}} \]

Для окончательного значения, можно вычислить: \[ 4^{\frac{1}{8}} = (2^2)^{\frac{1}{8}} = 2^{\frac{2}{8}} = 2^{\frac{1}{4}} \]

Итак, итоговое выражение можно представить как: \[ = 3 \times 2^{\frac{9}{4}} \times 2^{-\frac{1}{4}} = 3 \times 2^{\frac{9}{4} - \frac{1}{4}} = 3 \times 2^{\frac{8}{4}} = 3 \times 2^{2} = 3 \times 4 = 12 \]

Таким образом, значение всего выражения равно 12.