Найдите число которое в сумме со своим квадратом давало бы наименьшую величину

Для решения задачи нужно найти число \( x \), для которого сумма числа и его квадрата \( S = x + x^2 \) будет минимальной.

Для этого рассмотрим функцию:

\[ S(x) = x + x^2 \]

Чтобы найти минимум этой функции, нужно вычислить её производную и приравнять её к нулю:

\[ S'(x) = 1 + 2x \]

Приравняем производную к нулю:

\[ 1 + 2x = 0 \]

Решив это уравнение, найдем \( x \):

\[ 2x = -1 \] \[ x = -\frac{1}{2} \]

Теперь можем проверить, является ли это значение минимумом. Для этого найдем вторую производную:

\[ S''(x) = 2 \]

Поскольку вторая производная положительна, это подтверждает, что \( x = -\frac{1}{2} \) является минимумом.

Теперь подставим найденное значение в первоначальную функцию, чтобы узнать, какое значение принимает сумма:

\[ S\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \] \[ S\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \] \[ S\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \]

Таким образом, число \( -\frac{1}{2} \) в сумме со своим квадратом дает наименьшую величину \( 0 \).