Анна и Борис загадали по три различных положительных целых числа и записали их на листочках, которые отдали Володе. Оказалось, что на их листочках ровно одно общее число. Также Володя заметил, что если сложить два любых разных числа с листочка Анны, то получится одно из чисел Бориса. Затем Володя попросил каждого из ребят выбрать одно из трёх записанных ими чисел и назвать его. Анна назвала число, которое в 3 раза меньше, чем одно из чисел Бориса. А Борис назвал число 35. Какое число назвала Анна?

Для решения этой задачи начнем с анализа данных, которые нам даны.

Допустим, числа, которые загадала Анна, обозначим как \( A_1, A_2, A_3 \), а числа Бориса - как \( B_1, B_2, B_3 \). Из условия знаем, что у них одно общее число, обозначим его как \( x \). Так что:

• \( x \in \{ A_1, A_2, A_3 \} \)
• \( x \in \{ B_1, B_2, B_3 \} \)

Также нам сказано, что сумма любых двух различных чисел с листочка Анны дает одно из чисел Бориса. Это значит, что:

1. \( A_i + A_j = B_k \) для некоторого \( k \) и для любых \( i \neq j \).

Формально у нас есть следующие условия:

• \( A_1 + A_2 = B_1 \)
• \( A_1 + A_3 = B_2 \)
• \( A_2 + A_3 = B_3 \)

Теперь перейдем к информации об названных числах. Борис назвал число 35, и согласно условиям, у нас есть:

• \( x \) – общее число между ними.
• \( A \) – число Анны, которое в 3 раза меньше одного из чисел Бориса. Это можно записать как \( A = \frac{B_i}{3} \) для некоторого \( i \).

Так как Борис назвал 35, мы должны проверить, чи является \( \frac{35}{3} \) целым числом.

Считаем:

\[ \frac{35}{3} \approx 11.67 \]

Так как это не целое число, то мы должны исчерпать другие варианты. Однако, так как у нас есть только три числа, и одно из них является общим, давайте рассмотрим, может ли быть общим числом (x) число, кратное 3?

Если мы возьмём 21 (которое меньше 35 и кратно 3), то:

\[ A = \frac{21}{3} = 7 \]

Тогда \( x = 21 \).

Подытожим:

• Число, которое могла назвать Анна, равно 7.

Таким образом, Анна назвала число 7.