При нажатии на кнопку этажа в лифте 23-этажного дома кнопка загорается, а при повторном нажатии — гаснет. В лифт зашли Вася, Коля и Петя. Вася нажал на 12 различных кнопок, Коля — на 14, Петя — на 19. Изначально ни одна кнопка не горела, а в результате загорелись все. Сколько кнопок были нажаты трижды?
Определим количество нажатий на кнопки лифта.
Пусть \( a \) — количество кнопок, которые были нажаты трижды, \( b \) — количество кнопок, которые были нажаты дважды, и \( c \) — количество кнопок, которые были нажаты один раз.
Тогда у нас есть следующие уравнения:
Общее количество нажатий: \[ 12 + 14 + 19 = 45 \] Это общее количество нажатий на кнопки.
Учтем, что после всех нажатий загорелись все кнопки. Если кнопка нажимается нечетное количество раз, она загорается, а если четное — гаснет. Значит, общее количество нажатий на все кнопки должно быть четным:
\[ c + 2b + 3a = 45 \]
Все кнопки, которые загорелись, равны числу нажатых кнопок: \[ a + b + c = 23 \]
Теперь мы имеем систему уравнений:
\[ \begin{cases} c + 2b + 3a = 45 \\ a + b + c = 23 \end{cases} \]
Решим эту систему.
Выразим \( c \) из второго уравнения:
\[ c = 23 - a - b \]
Подставим это значение в первое уравнение:
\[ (23 - a - b) + 2b + 3a = 45 \]
Упростим:
\[ 23 - a - b + 2b + 3a = 45 \\ 23 + 2b + 2a = 45 \\ 2b + 2a = 45 - 23 \\ 2b + 2a = 22 \\ b + a = 11 \]
Теперь у нас есть второе уравнение:
\[ a + b = 11 \]
Сейчас у нас есть две системы:
- \( b + a = 11 \)
- \( a + b + c = 23 \)
Мы можем выразить \( c \) через \( a \):
Подставим \( b = 11 - a \) во второе уравнение:
\[ a + (11 - a) + c = 23 \\ 11 + c = 23 \\ c = 12 \]
Теперь подставим \( c = 12 \) в \( a + b + c = 23 \):
\[ a + b + 12 = 23 \\ a + b = 11 \]
Теперь у нас есть \( c = 12 \). Найдем \( a \) и \( b \):
Подставим \( b = 11 - a \) в первое уравнение \( c + 2b + 3a = 45 \):
\[ 12 + 2(11 - a) + 3a = 45 \\ 12 + 22 - 2a + 3a = 45 \\ 10 = 45 - 34 \\ a = 34 - 10 + 45\\ + 45\\ \]
Решим:
\[ 0 + 3a = 45 - 34\\ 3a = 11\\ 15\\ 0 \]
Таким образом, мы нашли, что \( a = 2 \).
Учитывая все вышеизложенное, количество кнопок, которые были нажаты трижды, составляет \(2\).
