На Кольцевой дорожке длиной 400 м проводится эстафет Длина одного этапа которой составляет 150 м Какое наименьшее количество этапов может быть у эстафета если старт и финиш находятся в одном месте
Чтобы решить задачу, сначала определим, сколько этапов может быть на кольцевой дорожке длиной 400 метров, если длина одного этапа составляет 150 метров, и старт и финиш находятся в одном месте.
Поскольку дорожка замкнута, для того чтобы вернуться на исходную позицию после прохождения этапов, общая длина пройденных метров должна быть кратна 400 метрам.
Давайте обозначим количество этапов как \( n \). Тогда длина, которую пробегут участники эстафеты, будет равна \( 150n \) метрам. Чтобы вернуться на старт, необходимо, чтобы \( 150n \) было кратно 400.
Теперь найдем наименьшее \( n \), удовлетворяющее этому условию:
Разделим 400 на 150, чтобы выяснить, сколько этапов нам понадобится: \[ \frac{400}{150} = \frac{8}{3} \approx 2.67 \] Это означает, что для кратности нам нужно взять целое число этапов.
Посмотрим на кратные 400, которые можно получить от 150. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 150 и 400.
Разложим на простые множители:
- 150 = \( 2 \times 3 \times 5^2 \)
- 400 = \( 2^4 \times 5^2 \)
НОК (150 и 400) будет: \[ НОК = 2^4 \times 3^1 \times 5^2 = 2400 \]
Теперь найдем \( n \): \[ n = \frac{2400}{150} = 16 \]
Таким образом, наименьшее количество этапов, при котором старт и финиш будут в одном месте, равно 16.
