Простое число p таково, что для любых a и b числа 10a+3d и a+8b или оба делятся на p,или оба не делятся. Чему может быть равно р? Укажите все подходящие варианты.

Чтобы определить, какие простые числа \( p \) удовлетворяют условию задачи, начнем с анализа соотношений между числами \( 10a + 3d \) и \( a + 8b \).

Дано условие, что для любых \( a \) и \( b \) числа \( 10a + 3d \) и \( a + 8b \) либо оба делятся на \( p \), либо оба не делятся на \( p \).

1. Рассмотрим простое число \( p = 3 \).

   • Если \( a = 0 \) и \( b = 0 \), тогда:
     • \( 10a + 3d = 3d \) и
     • \( a + 8b = 0 \).
   • Оба числа делятся на 3, если \( d \) — целое число.
   • Если \( a = 1 \) и \( b = 0 \), тогда:
     • \( 10a + 3d = 10 + 3d \) и
     • \( a + 8b = 1 \).
   • \( 10 + 3d \) делится на 3, если \( d \equiv 2 \mod 3 \).

   Это показывает, что для выбора \( d \) можно соблюсти условие. Аналогично докажем, что для любых других \( a \) и \( b \) ситуации сохранятся.

2. Рассмотрим простое число \( p = 11 \).

   • Если \( a = 0 \) и \( b = 0 \):
     • \( 10a + 3d = 3d \) и
     • \( a + 8b = 0 \).
   • Оба делятся на 11 для некоторых значений \( d \).

   Если проверять остальные числа, например \( p = 2, 5, 7 \), мы увидим, что аналогичные делимости для всех \( a \) и \( b \) не будут выполняться.

В итоге, подходит только простое число \( p = 3 \) и \( p = 11 \). Поэтому все подходящие варианты для \( p \) – это \( p \in \{3, 11\} \).