Найдите наибольшее наименьшее значение функции. f (x)= ( x+1)2 (x-1) на [-2;0]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции \( f(x) = (x + 1)^2 (x - 1) \) на отрезке \([-2; 0]\), следуем пошагово.

1. Найдем производную функции: Для этого сначала применим правило произведения и правило цепи. Запишем функцию: \[ f(x) = (x + 1)^2 (x - 1) \] Чтобы найти \( f'(x) \), используем правило производной произведения: \[ f'(x) = (x + 1)^2 \cdot (1) + (x - 1) \cdot 2(x + 1) \] Упростим это выражение: \[ f'(x) = (x + 1)^2 + 2(x - 1)(x + 1) = (x + 1)^2 + 2(x^2 - 1) \] Подставим и упростим: \[ f'(x) = (x + 1)^2 + 2x^2 - 2 = x^2 + 2x + 1 + 2x^2 - 2 = 3x^2 + 2x - 1 \]

2. Найдем критические точки: Установим \( f'(x) = 0 \): \[ 3x^2 + 2x - 1 = 0 \] Решим это уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 \] Таким образом, корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{6} \] Это даёт два корня: \[ x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-6}{6} = -1 \] Мы можем использовать только \( x_2 = -1 \), поскольку \( x_1 \) находится вне отрезка \([-2; 0]\).

3. Вычислим значения функции в критических точках и на границах отрезка: Подставим \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1 + 1)^2 \cdot (-1 - 1) = 0 \cdot (-2) = 0 \]

   Теперь вычислим значения функции на границах отрезка: \[ f(-2) = (-2 + 1)^2 \cdot (-2 - 1) = (-1)^2 \cdot (-3) = 1 \cdot (-3) = -3 \] \[ f(0) = (0 + 1)^2 \cdot (0 - 1) = (1)^2 \cdot (-1) = 1 \cdot (-1) = -1 \]

4. Сравним все найденные значения:

   • \( f(-2) = -3 \)
   • \( f(-1) = 0 \)
   • \( f(0) = -1 \)

Наибольшее значение функции на отрезке \([-2; 0]\) равно \( 0 \), а наименьшее значение равно \( -3 \).

Ответ: Наибольшее значение \( f(x) = 0 \), наименьшее значение \( f(x) = -3 \).