Петя записал на доске несколько различных двузначных чисел так, чтобы сумма никаких двух из них не была равна 84. Какое максимальное количество чисел мог написать Петя?

Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим двузначные числа, которые находятся в диапазоне от 10 до 99. Если Петя записал число \( x \), то число, сумма которого с \( x \) дала бы 84, будет равно \( 84 - x \).

Мы хотим, чтобы никакие два числа не давали в сумме 84. Это означает, что если Петя запишет число \( x \), то он не может записать число \( 84 - x \).

Теперь давайте проанализируем, какие числа в пределах от 10 до 99 могут быть записаны:

1. Начиная с наименьшего двузначного числа 10:
   • Если \( x = 10 \), тогда запрещённое число: \( 84 - 10 = 74 \).
   • Если \( x = 11 \), запрещённое число: \( 84 - 11 = 73 \).
   • ...
   • Если \( x = 42 \), запрещённое число: \( 84 - 42 = 42 \).
   • Если \( x = 43 \), запрещённое число: \( 84 - 43 = 41 \).
   • И так далее до 99.

Таким образом, если мы возьмем все числа от 10 до 42, то для каждого числа \( x \) существует число \( 84 - x \) в диапазоне от 42 до 74, которое запрещено.

Теперь давайте посмотрим на возможность записи:

• Числа от 10 до 42 (включительно): это 33 числа.
• Числа от 43 до 74 (включительно) также формируют пару с числами от 10 до 42.

Количество чисел будет максимальным, если мы запишем только одно из пары: например, либо числа от 10 до 42, либо числа от 43 до 74. Но сам по себе 42 не может иметь пары, так как его "партнёр" 42 сам по себе.

Итак, максимальное количество чисел, которые может записать Петя, составит 35, включая числа от 10 до 42 и не включая 42.

Ответ: максимальное число, которое мог записать Петя, равно 35.