Сколько всего пятизначных чисел можно составить из цифр 1 1, 3 3, 7 7, 2 2, 4 4, если известно, что каждая цифра используется при составлении числа только один раз? Определи наименьшее число из полученных чисел.
Чтобы составить пятизначное число из цифр \( 1, 1, 3, 3, 7, 2, 4 \), прежде всего нужно выбрать 5 цифр из этих 7 цифр. Давайте разберем два случая:
- Случай 1: Две цифры "1" и три другие цифры. Возможные комбинации: \( 1, 1, 2, 3, 4 \); \( 1, 1, 2, 3, 7 \); \( 1, 1, 2, 4, 7 \); \( 1, 1, 3, 4, 7 \).
- Случай 2: Две цифры "3" и три другие цифры. Возможные комбинации: \( 3, 3, 1, 2, 4 \); \( 3, 3, 1, 2, 7 \); \( 3, 3, 1, 4, 7 \); \( 3, 3, 2, 4, 7 \).
Теперь давайте найдем количество уникальных пятизначных чисел для каждого случая.
Случай 1: Цифры \( 1, 1, 2, 3, 4 \)
Количество уникальных перестановок: \[ \frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60 \]
Случай 2: Цифры \( 1, 1, 2, 3, 7 \)
Количество уникальных перестановок: \[ \frac{5!}{2!} = 60 \]
Случай 3: Цифры \( 1, 1, 2, 4, 7 \)
Количество уникальных перестановок: \[ \frac{5!}{2!} = 60 \]
Случай 4: Цифры \( 1, 1, 3, 4, 7 \)
Количество уникальных перестановок: \[ \frac{5!}{2!} = 60 \]
Случай 5: Цифры \( 3, 3, 1, 2, 4 \)
Количество уникальных перестановок: \[ \frac{5!}{2!} = 60 \]
Случай 6: Цифры \( 3, 3, 1, 2, 7 \)
Количество уникальных перестановок: \[ \frac{5!}{2!} = 60 \]
Случай 7: Цифры \( 3, 3, 1, 4, 7 \)
Количество уникальных перестановок: \[ \frac{5!}{2!} = 60 \]
Случай 8: Цифры \( 3, 3, 2, 4, 7 \)
Количество уникальных перестановок: \[ \frac{5!}{2!} = 60 \]
Общий итог
Каждый из 8 случаев дает \( 60 \) уникальных чисел. Таким образом, общее количество уникальных пятизначных чисел составляет \( 8 \times 60 = 480 \).
Наименьшее пятизначное число
Теперь, чтобы определить наименьшее число, нужно выбрать наименьшие цифры и расставить их в порядке возрастания. Цифры которая дает наименьшее число:
- \( 1, 1, 2, 3, 4 \) — это даст наименьшее число \( 11234 \).
Ответ
Всего можно составить \( 480 \) уникальных пятизначных чисел, и наименьшее из них: \( 11234 \).
