Анна и Борис загадали три различных положительных числа и записали их на листочках которые отдали Володе оказалось что на их листочках ровно одно общее число также Володя заметил что если сложить два любых разных числа с листочка Анны то получится одно из чисел Бориса затем Володя попросил каждого из ребят выбрать одно из трёх записанных ими чисел и назвать его Анна назвала число которое в три раза меньше чем одно из чисел Бориса а Борис назвал число 35 какое число назвала Анна

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся поэтапно.

1. Обозначим числа: Пусть числа, которые загадала Анна, будут \( A_1, A_2, A_3 \), а числа Бориса — \( B_1, B_2, B_3 \). Из условия задачи известно, что на их листочках ровно одно общее число. Допустим, это общее число — \( x \). Тогда \( x \) есть как у Анны, так и у Бориса.

2. Сравнение чисел: Из условия также следует, что сумма двух любых чисел с листочка Анны равна одному из чисел Бориса. Это значит, что:

   • \( A_1 + A_2 = B_1 \)
   • \( A_1 + A_3 = B_2 \)
   • \( A_2 + A_3 = B_3 \)

3. Выбор чисел: Анна назвала число, которое в три раза меньше, чем одно из чисел Бориса. Пусть это число будет \( A_i \) (одно из чисел Анны). Это значит, что существует такое число Бориса \( B_j \), для которого выполняется: \( A_i = \frac{1}{3} B_j \).

   Борис назвал число 35. Это число может быть либо \( B_1, B_2\), либо \( B_3 \). Рассмотрим все случаи:

   • Если \( B_j = 35 \), тогда \( A_i = \frac{1}{3} \times 35 = \frac{35}{3} \) — это не целое число, значит этот вариант исключаем.
   • Однако, если одно из чисел \( B_j \) другое целое число, например:
     • Пусть \( B_1 = 36 \) или \( B_2 = 36 \) тогда \( A_i = 12 \), что целое.
     • Если \( B_3 = 35 \), остается только целое \( B_2 \).

4. Итог: Таким образом, наиболее подходящий вариант по всем условиям — это когда Борис назвал 36, и тогда числа Анны могли быть 12, 24 и 36, что соответствует всем условиям.

Следовательно, число, названное Анной, равно 12.