Дан треугольник АВС. АС = 37,8 см; ∠B = 60°; C = 45°. Найди сторону AB. (Ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня.)

Для нахождения стороны \( AB \) в треугольнике \( ABC \), где известны \( AC \), угол \( B \) и угол \( C \), можно использовать теорему синусов.

Сначала найдём угол \( A \): \[ A = 180° - B - C = 180° - 60° - 45° = 75° \]

Теперь можем воспользоваться теоремой синусов: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \]

Подставляем известные значения: \[ \frac{AB}{\sin 45°} = \frac{37.8}{\sin 60°} \]

Значения синусов: \[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставим их в уравнение: \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{37.8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Упростим это уравнение: \[ AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 37.8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Умножим обе стороны на 2: \[ AB \cdot \sqrt{3} = 37.8 \cdot \sqrt{2} \]

Теперь выразим \( AB \): \[ AB = \frac{37.8 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 37.8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 37.8 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} \]

Теперь найдем итоговое значение: \[ AB = \frac{37.8 \cdot \sqrt{6}}{3} \approx 12.6 \cdot \sqrt{6} \]

Упростим до наименьшего натурального числа под знаком корня: \[ AB = \frac{126 \cdot \sqrt{6}}{30} = \frac{21 \cdot \sqrt{6}}{5} \]

Таким образом, \( AB \) в наименьшей натуральной форме под знаком корня равняется \( 12.6 \cdot \sqrt{6} \).

Итак, конечный ответ: \[ AB = 12 \cdot \sqrt{6} \quad (\text{округлено до ближайшего натурального числа}) \]